Muestreo probabilístico y con reemplazo

Question

Estoy leyendo el libro "Model Assisted Survey Sampling" de Särndal et al. En el capítulo 2, hay una sección sobre el muestreo con sustitución. Voy a poner esto en contexto: Tenemos $m$ sorteos independientes, de manera que, en cada sorteo, cada uno de los $N$ elementos de la población tiene la misma probabilidad de selección : $\frac{1}{N}$

Una vez extraído, un elemento es sustituido en la población de manera que todos $N$ elementos participan en cada sorteo. Obviamente, la probabilidad de que un elemento determinado no sea sorteado viene dada por: $(1 - \frac{1}{N})^m$

Así, la probabilidad de inclusión de primer orden es: $\pi_k = 1 - (1- \frac{1}{N})^m$

Ahora, mi pregunta particular es por qué es la probabilidad de inclusión de segundo orden:

$\pi_{kl} = 1 - 2(1- \frac{1}{N})^m + (1- \frac{2}{N})^m$

Realmente no entiendo por qué. ¿Se supone que esto significa que $2(1- \frac{1}{N})^m - (1- \frac{2}{N})^m$ es la probabilidad de que ni la observación $k$ ni $l$ se dibujan en el $m$ ¿Dibujos?

Por favor, si alguien tiene una explicación intuitiva, estaría muy agradecido.

Answer 1

Dejemos que $k\ne l$ . La expresión $$2\left(1-\frac{1}{N}\right)^m -\left(1-\frac{2}{N}\right)^m$$ es la probabilidad de que al menos uno de $k$ y $l$ no está presente. Así que la expresión del puesto da la probabilidad de que ambos estén presentes.

Answer 2

$\pi_{kl}$ es la probabilidad de que ambos $k$ y $l$ se incluyen en la muestra. Utilizando $$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$$ , esta es la probabilidad de que $k$ se incluye más la probabilidad de que $l$ (ambos son iguales a $1-(1-\frac1N)^m$ ) menos la probabilidad de que se incluya al menos uno (esto es igual a $1-(1-\frac2N)^m$ ).