Es $[0,1]$ ¿un grupo topológico?

Question

¿Se puede dotar al intervalo de unidades $[0,1]$ con una operación de grupo para convertirlo en un grupo topológico bajo su topología euclidiana natural?

Answer 1

No. Un grupo topológico es homogéneo, y $[0,1]$ no lo es, ya que tiene los dos puntos finales. (Una vecindad abierta de uno de los puntos finales, como $[0,1/2)$ no es homeomorfo a ninguna vecindad abierta de un punto interior a través de un mapeo de homeomorfismo $0$ al punto interior).