Es $ \{x\} \times Y \cong Y$ ?

Question

Supongamos que $X, Y $ son espacios topológicos. Elige un punto $(x,y) \in X \times Y$ . Estoy tratando de mostrar que $\{x\} \times Y $ es homeomorfo a $Y$ . ¿Es esto cierto?

¿Es esta función $f(x,y) = y$ ¿un homeomorfismo? Obviamente es continuo ya que es un mapa de proyección. Pero su inversa también es continua? gracias por su ayuda

Answer 1

Estos son algunos métodos para mostrar que el mapa $g:Y\to\{x\}\times Y,\ y\mapsto(x,y)$ que es la inversa de $f$ es continua. La segunda es especialmente útil.

• Puede tratar directamente con los conjuntos abiertos. Un conjunto abierto no vacío en $\{x\}\times Y$ tiene la forma $\{x\}\times U$ para todos los conjuntos abiertos $U$ en $Y.$ ¿Cuál es su preimagen bajo $g$ ?
• Un mapa de un espacio $Z$ a un producto $\prod_{i\in I} Y_i$ es continua si cada componente es continua. En su caso $g$ tiene dos componentes, uno es el mapa constante $Y\to\{x\}$ el otro es la identidad en $Y$ .
• Si sabes un poco de teoría de categorías, hay una manera elegante: Un espacio unitario $\{x\}$ es un objeto terminal en la categoría Top y el espacio del producto es el producto categórico. Ahora, en cada categoría, el mapa canónico de un objeto a su producto con el objeto terminal es un isomorfismo natural.