Manera correcta de demostrar formalmente si una función compuesta existe o no existe

Question

Estoy seguro de que mi respuesta es correcta, pero no estoy seguro de que la forma en que la he demostrado sea lo suficientemente formal.

g(-1,-2) = (1/2 * 1, -2) = (1/2,-2)

x = 1/2 está dentro del parámetro del codominio de g en el que { k/2 : k N}

y = -2 está dentro del parámetro del codominio de g en el que -2 Z

f g((-1,-2)) = (-2, 1/2)

y = 1/2 no está dentro del parámetro del codominio de f ya que y no es un entero

Por lo tanto, f g((-1,-2)) no existe

¿Cómo puedo hacer que mi prueba sea más formal?

Answer 1

La esencia es comprobar si el codominio de $g$ está contenida en el dominio de $f$ y esto debe indicarse en la prueba. Por ejemplo:

Para construir el compuesto $f\circ g$ de dos funciones tenemos que asegurar que el codominio de $g$ está contenida en el dominio de $f$ .

Aquí tenemos como codominio de $g$ el conjunto $$\left\{\frac{k}{2}:k\in\mathbb{N}\right\}\times \mathbb{Z}$$ que no está contenido en el dominio $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ de la función $f$ . Por lo tanto, el compuesto $f\circ g$ no existe.

Esto se puede ver al considerar el punto $(-1,-2)$ . La función $g((x,y))=\left(\frac{1}{2}\left|x\right|,y\right)$ mapea el punto $(-1,-2)$ a $\left(\frac{1}{2},-2\right)$ que no es un elemento del dominio $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ de la función $f$ .