Minimizar la norma de Frobenius

Question

Si tengo matrices $\mathbf A$ y $\mathbf B$ entonces qué es $\mathbf x$ para minimizar $\|\mathbf A- \mathbf{B} x\|_F$ ?

Answer 1

El problema es equivalente a minimizar $\|A - xB\|_F^2$ , que es a su vez: $\min_{x} \sum_{i, j}(A_{ij}-xB_{ij})^2$ Se trata de una simple cuadrática en $x$ cuyo minimizador se obtiene poniendo la derivada a 0.

Answer 2

La norma de Frobenius es la norma euclidiana de vectores regulares cuando $A$ y $B$ son vistos como $n^2$ -vectores dimensionales. Por lo tanto, el $xB$ minimizar $||A - xB||_F$ sería la proyección vectorial de $A$ en $B$ dado por $(A \cdot {B \over ||B||_F}) B$ , donde $\cdot$ es el $n^2$ producto punto dimensional. Por lo tanto, $x$ viene dada por $A \cdot {B \over ||B||_F}$ .