Este es el ejercicio 1.3.N de Apuntes de geometría algebraica de Vakil . El siguiente es el diagrama que define la propiedad universal del producto fibrado: 
Demuestre que en $\mathit{Sets}$ , $$X\times_Z Y=\{(x,y)\in X\times Y: \alpha(x)=\beta(y)\}.$$
Mi intento:
Dejemos que $W$ sea un conjunto. Supongamos que existen mapas $\phi: W\rightarrow X$ y $\psi: W\rightarrow Y$ , de tal manera que $\alpha\circ \phi=\beta\circ \psi$ . Demostramos que existe un mapa único $\sigma: W\rightarrow X\times_Z Y$ tal que $\beta\circ\text{Pr}_Y\circ \sigma=\beta\circ\psi$ y $\alpha\circ\text{Pr}_X\circ \sigma=\alpha\circ \phi$ .
Obviamente, podemos definir $\sigma(w)=(\phi(w),\psi(w))$ y demostrar que está bien definida y satisface la igualdad.
Mi pregunta:
Estoy atascado en la prueba de la unicidad. Supongamos que otro mapa $\tau(w)=(\tau_X(w), \tau_Y(w))$ también satisface $$\beta\circ\text{Pr}_Y\circ \tau=\beta\psi,\\ \alpha\circ\text{Pr}_X\circ\tau=\alpha\phi.$$
Así que termino con $$\beta\circ\tau_Y=\beta\circ \psi,\\ \alpha\circ\tau_X=\alpha\circ \phi.$$
Pero esto no implica necesariamente $\tau_Y=\psi$ y $\tau_X=\phi$ que es lo que quiero mostrar. Como los mapas son todos a través de $\alpha$ y $\beta$ Parece que no hay manera de deshacerse de ellos. ¿Cómo proceder?
Gracias por su ayuda.
