La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}.$

Question

Cómo justificar la convergencia y calcular la suma de las series: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}.$$

Answer 1

$$\begin{array}{lcl} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}&=& \sum_{n=1}^\infty\frac{6}{n(n+1)(2n+1)} \\ &=& 6\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=& 12\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(2n+1)} -12\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \\ &=& 12\sum_{n=1}^\infty \left[ \frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1} \right] - 12\sum_{n=1}^\infty \left[ \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} \right]\\ &=& 12(1-\ln 2)- 12\left(\ln 2-\frac{1}{2}\right)\\ &=& 18-24\ln 2 \end{array} $$

Answer 2

Para la convergencia utilice una comparación con otra suma.

Una pista: $$\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{n (n+1) (2n+1)}{6}$$ y utilizar la descomposición parcial de la fracción.

Como sabes que la convergencia es absoluta, puedes cambiar el orden de la suma. (Y eso es importante aquí).

Tal vez otra pista sea $$\sum_{i=1}^\infty (-1)^i \frac{1}{i}=-\ln(2)$$ Este es un resultado de la serie de Taylor del logaritmo