Integración de una función con respecto a otra función.

Question

¿Cuál es la intuición/idea detrás de la integración de una función con respecto a otra función? Digamos que $$\int f(x)d(g(x)) \;\;\;\;\;?$$ o puede ser un ejemplo más particular $$\int x^2d(x^3)$$

Mi preocupación no está en el nivel de resolución de problemas. Para resolver podríamos simplemente sustituir $u=x^3$ y luego $x^2=u^{2/3}$ . Mi preocupación es más bien sobre qué significado físico/geométrico tiene esto.

AÑADIDO si preguntas qué tipo de significado busco, la integración de una función respecto a una variable da el área bajo la curva y sobre el eje x.

Answer 1

No hay una interpretación geométrica de $\int f(x) \mbox{d}(g(x))$ por lo que a mí respecta. Sin embargo, tiene un significado. Digamos que quieres tomar la diferenciación de $\sin(x)$ en relación con x y $\sin (x)$ dan dos resultados diferentes:

• $\frac{\mbox{d} \sin x}{\mbox{d}x} = \cos x$
• $\frac{\mbox{d} \sin x}{\mbox{d} \sin x} = 1$

Otro ejemplo es tomar las derivadas de $x^4$ en relación con x y $x^2$ respectivamente.

• $\frac{\mbox{d} x^4}{\mbox{d}x} = 4x^3$
• $\frac{\mbox{d} x^4}{\mbox{d} x^2} = \frac{\mbox{d} (x^2)^2}{\mbox{d} x^2} = 2x^2$

Una antiderivada de $f$ en relación con $x$ es una función $F$ , de tal manera que $\dfrac{\mbox{d}F}{\mbox{d}x} = f$

Así que:

• $\int \mbox{d}(x^2)$ es una función tal que su derivada respecto a $x^2$ es 1, esta familia de función es, por supuesto, $x^2 + C$ .
• $\int x^5\mbox{d}(x^5)$ es una función tal que su derivada respecto a $x^5$ es $x^5$ Esta familia de funciones es, por supuesto, $\dfrac{x^{10}}{2} + C$ , ya que: $\frac{1}{2}\dfrac{\mbox{d}(x^{10} + C)}{\mbox{d}(x^5)} = \frac{1}{2}\dfrac{\mbox{d}((x^5)^2)}{\mbox{d}(x^5)} + 0 = x^5$

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A la hora de resolver los problemas, sólo hay que recordar que $\int f(x)\mbox{d}(g(x)) = \int f(x).g'(x) \mbox{d}x$ por ejemplo, cuando se toma alguna función de d hay que diferenciarlo, y viceversa, cuando se pone alguna función en d tendrás que integrarlo, así:

• $\int x^5 \mbox{d}(x^2) = \int 2x^6 \mbox{d}(x) = \dfrac{2x^7}{7} + C$ . (Toma $x^2$ de d , nosotros diferenciar y tienen $2x$ )
• $\int \sin^2 x \cos x \mbox{d}x = \int \sin^2 x \mbox{d}(\sin x) = \frac{\sin ^ 3 x}{3} + C$ (Poner $\cos x$ en d Tenemos que integrar para conseguir $\sin x$ ).

Answer 2

No deberías pensar en $g$ como una función, es un cambio de variable. Es una forma de parametrizar la integral, sin sentido geométrico ni físico.

ADDENDUM : de hecho, tanto en matemáticas como en física, una de las principales preocupaciones ha sido desarrollar teorías en las que los resultados significativos no dependan de la elección de dicha paremetrización. Por ejemplo, en matemáticas, el objeto que es "natural" integrar son las formas diferenciales y no las funciones porque la integral no dependerá de la elección de la parametrización.

ADDENDUM 2 : Lo que entiendo por parametrización. Consideremos el siguiente problema: tenemos un segmento de curva $C$ y se desea calcular su longitud (el ejemplo más sencillo : $C$ es un segmento recto). Por definición, la longitud es $\int_C \|\gamma'(t)\| dt$ , donde $\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ es una parametrización de la curva. (una vez más, puede sustituir $ \mathbb{R}^3$ por $\mathbb{R}$ si lo prefiere, en cuyo caso $C$ es un segmento recto). Pero hay muchas parametrizaciones diferentes $\gamma$ (piense que es un punto que se mueve a lo largo de la curva: puede moverse a diferentes velocidades, pero seguirá moviéndose a lo largo de la curva). El número $\|\gamma'(t)\|$ representa la velocidad de la parametrización en el momento $t$ . El número $L = \int_C \|\gamma'(t)\| dt$ es independiente de la parametrización, como debe ser ya que representa la longitud. Esto se puede ver utilizando la fórmula de cambio de variable.

Answer 3

He encontrado esta discusión relevante en el desbordamiento de las matemáticas.

Visualización de la integral de Riemann-Stieltjes

Answer 4

Esta es una vieja pregunta con una respuesta marcada, pero hay una mejor.

Así se encuentra el área bajo la curva de una función con respecto a otra función dado algún parámetro oculto. Una de estas aplicaciones es la caraterística operativa del receptor (ROC) Característica operativa del receptor

En el ROC, nos interesa saber cómo las variables dependientes $f(t)$ y $g(t)$ varían con $t$ . Tenemos la probabilidad de falsa detección en el $x$ -y la probabilidad de detección en el eje $y$ -eje. Así, la integral de $f(t)$ con respecto a $g(t)$ es una excelente medida de la probabilidad de identificar correctamente la presencia de alguna señal. Es probable que haya otras interpretaciones similares, pero ésta es una de las que conozco.