Actualmente estoy siguiendo un curso de introducción a la geometría y se mencionó que la línea proyectiva real es homeomorfa a un círculo. ¿Podría alguien indicar las topologías de la recta real proyectiva y del círculo y el correspondiente homeomorfismo?
¡Muchas gracias!
La línea proyectiva real es el conjunto de líneas que pasan por el origen en $\mathbb R^2$ . Puede verse como el cociente de $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ por la relación $x \sim y$ si $x=\lambda y$ para un número de veces que no es cero $\lambda \in \mathbb R$ . La topología aquí es la topología del cociente para el mapa $\mathbb R^2 \setminus \{0\} \to \mathbb R P^1$ enviando un punto a su clase de equivalencia.
Restringiendo este mapa a $\mathbb S^1$ obtenemos un mapeo abierto continuo de $\mathbb S^1 \to \mathbb R P^1$ que identifica dos puntos antípodas. Vemos entonces que $\mathbb RP^1$ es homeomorfo a $\mathbb S^1$ modulo la equivalencia $x \sim -x$ (de nuevo con la topología del cociente).
Lo que queda por demostrar es que $\mathbb S^1 / \{x \sim -x\}$ es homeomorfo a $\mathbb S^1$ que no es difícil.
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