Desde $cX$ es Hausdorff compacto, es normal, por lo que dos conjuntos cerrados $A,B \subset cX$ son disjuntos si existe un continuo $f : cX \to [0,1]$ que los separa (es decir $f=0$ en $A$ y $f=1$ en $B$ ). Tal $f$ es la extensión de un continuo uniforme acotado $g : X \to [0,1]$ .
¿Puedes encontrar dos subconjuntos cerrados disjuntos de $X$ que no pueden ser separados por una función continua uniforme acotada?
Sus cierres en $cX$ será la deseada.
Para la segunda parte, siguiendo mi comentario, podrías encontrar una secuencia en $cX$ que no tiene una subsecuencia convergente, mostrando que $cX$ no es secuencialmente compacto. $cX$ es compacto por construcción, y por el teorema de Bolzano-Weierstrass, todo espacio compacto metrizable es secuencialmente compacto, por lo que esto descartaría la metrizabilidad.
Tal vez incluso podamos elegir esta secuencia para mentir $X$ .
Supongamos que tenemos una secuencia $\{y_n\} \subset X$ que converge en $cX$ . En particular, para cualquier continuo $f : cX \to [0,1]$ , $\lim f(y_n)$ existe. Al igual que antes, cualquier continuo uniforme acotado $g : X \to [0,1]$ se extiende a una función continua en $cX$ Así que $\lim g(y_n)$ también debe existir.
Así que propongo lo siguiente:
Encontrar una secuencia $\{x_n\} \subset X$ tal que, para cada subsecuencia $\{x_{n_k}\}$ existe una solución acotada, uniformemente continua $g: X \to [0,1]$ tal que $\lim g(x_{n_k})$ no existe.
Esta secuencia no tendrá una subsecuencia convergente en $cX$ .
