La desigualdad de Minkowski

Question

La desigualdad de Minkowski para las sumas establece $$\left(\sum_{j=0}^\infty |a_j+b_j|^2 \right)^{1/2} \le \left(\sum_{j=0}^\infty |a_j|^2 \right)^{1/2}+\left(\sum_{j=0}^\infty |b_j|^2 \right)^{1/2}$$ para $\mathbb{C}^n$ en la norma euclidiana. ¿Cómo puedo demostrar que, en un espacio secuencial ponderado $\ell_\beta^2$ , $$\left(\sum_{j=0}^\infty |a_j+b_j|^2 \beta(j)^2 \right)^{1/2} \le \left(\sum_{j=0}^\infty |a_j|^2 \beta(j)^2 \right)^{1/2}+\left(\sum_{j=0}^\infty |b_j|^2 \beta(j)^2 \right)^{1/2}$$ Inicialmente, intenté simplificar el LHS como $\beta(j) ( \sum_{j=0}^\infty |a_j+b_j|)^{1/2}$ pero eso es un movimiento ilegal (no se puede mover $\beta(j)$ de la suma).

Answer 1

Asumiendo la secuencia de pesos $\beta=(\beta(j))_j$ consta sólo de números no negativos, siga la siguiente pista

HINT Aplicar la desigualdad de Minkowski a la secuencia $$a\beta + b\beta = ( a_j \beta(j) + b_j \beta(j) )_{j \in \mathbb{N}} \in \ell^2$$ Para conseguir que de hecho $$\|a\beta + b\beta \|_2 \leq \|a\beta \|_2 + | b\beta \|_2$$ Donde $$\|a\|_2=\left( \sum_{j=1} |a_j|^2 \right)^{1/2}$$