ODE's que implican distribuciones o medidas de radón

Question

Bueno, me gustaría conocer una aproximación (método) para resolver las EDO's "singulares" de una manera no formal. Busco un método diferente (más simple) que la variación de los parámetros, la transformada de Laplace.

La ecuación sería $$Ly=\delta$$ Supongamos que tenemos soluciones del problema homogéneo.

Answer 1

Considere una EDO lineal (los coeficientes no tienen que ser constantes, pero asumo que son lo suficientemente buenos para no causar problemas): $$Ly:=y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots + a_0 y = \delta \tag1 $$ La función delta siempre proviene de la derivada más alta. Para $y^{(n)}$ para contener una función delta en $0$ la derivada siguiente a la más alta $y^{{n-1}}$ debe saltar por $1$ a cero. Formalmente, $$y^{(n-1)}(0 +)=y^{(n-1)}(0-)+1 \tag2$$ Todas las derivadas de orden inferior deben ser continuas en $0$ Si no es así $y^{(n)}$ contendrá una singularidad de orden superior que no queremos. $$y^{(k)}(0 +)=y^{(k)}(0-),\quad k=0,\dots,n-2 \tag3$$

La solución general de la ecuación homogénea $Ly=0$ en el intervalo $(-\infty,0)$ implica $n$ coeficientes indeterminados $b_1,\dots,b_n$ . La solución general de $Ly=0$ en el intervalo $(0,\infty,0)$ también implica $n$ coeficientes indeterminados, digamos $c_1,\dots,c_n$ . Las condiciones (2)-(3) son $n$ relaciones lineales entre estos coeficientes. Se pueden utilizar para eliminar $c_1,\dots,c_n$ de su solución general, dejándola en términos de $b_1,\dots,b_n$ .

---

Un ejemplo: $$y''+y'-6y=\delta \tag4$$ La solución general de la ecuación homogénea es $y=b_1e^{2x}+b_2 e^{-3x}$ para $x<0$ y $y=c_1e^{2x}+c_2 e^{-3x}$ para $x>0$ . Las relaciones (2) y (3) tienen la forma $$ \begin{split}2c_1-3c_2&=2b_1-3b_2+1 \\ c_1+c_2 &= b_1+b_2 \end{split} $$ Por lo tanto, $c_1=b_1+1/5$ y $c_2=b_2-1/5$ . La solución general de (4) es $$ y=b_1e^{2x}+b_2 e^{-3x}+\frac15(e^{2x}- e^{-3x})\,H(x) \tag5$$ donde $H$ es la función de Heaviside.