Creo que no es necesariamente el caso. Hasta ahora tengo que si $S\subset R$ es una extensión de anillo infinito integral, necesitaríamos tener que $R$ se genera infinitamente pero $S[R]$ está finitamente generado, ambos como módulos S.
Sin embargo, tengo problemas para encontrar un ejemplo concreto.
Es un hecho: Un $S$ -Algebra $R$ es finito (es decir, generado finitamente como un $S$ -) si y sólo si es integral y de tipo finito (es decir, generado finitamente como un $S$ -álgebra). [Supongo que lo sabes pero no estoy del todo seguro de haber entendido bien tu notación].
Sugerencia (para encontrar el ejemplo deseado): Tome un $S$ -Álgebra $R$ es decir no de tipo finito (y es razonablemente fácil de manejar). Entonces, "forzar" $R$ para que sea integral modificando las relaciones adecuadas y conservando la propiedad de no ser de tipo finito sobre $S$ .
Editar: Supongo que el ejemplo proporcionado por Timbuc en el comentario a la pregunta original es aún más sencillo.
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