¿Cómo se demuestra que el determinante de una matriz de 3 por 3 con entradas de 1 y -1 (suponiendo filas linealmente independientes) será siempre 4 o -4?

Question

Supongamos que A es un $3\times3$ matriz, donde todas las entradas son $1$ o $-1$ y las filas son linealmente independientes.

¿Por qué el determinante siempre será $4$ o $-4$ ?

Answer 1

Por hipótesis, $A$ tiene la forma $$A=\begin{bmatrix} (-1)^a&(-1)^b&(-1)^c\\ (-1)^d&(-1)^e&(-1)^f\\ (-1)^g&(-1)^h&(-1)^i \end{bmatrix},$$ donde $a,b,c,d,e,f,g,h,i\in\{0,1\}$ . Por lo tanto, un cálculo sencillo muestra que $$\det A=(-1)^{a}\Big[(-1)^{e + i}+(-1)^{f + h+1}\Big] + (-1)^{b}\Big[(-1)^{f + g} +(-1)^{d + i+1}\Big]\\ +(-1)^{c}\Big[(-1)^{d + h} + (-1)^{e + g +1}\Big]$$

Escribamos $$r=e+i,\quad s=f+h+1,\quad t=f+g,\quad u=d+i+1,\quad v=d+h,\quad w=e+g+1.$$

Entonces, $$w=r+t-s-u+v+3$$ y por lo tanto $$\det A=(-1)^{a}\underbrace{\Big[(-1)^{r}+(-1)^{s}\Big]}_{X} + (-1)^{b}\underbrace{\Big[(-1)^{t} +(-1)^{u}\Big]}_{Y} \\+(-1)^{c+v}\underbrace{\Big[1 + (-1)^{r+t-s-u+1}\Big]}_{Z} $$

De esta igualdad, concluimos que:

• Si todos los números $r,s,t,u$ son pares, entonces $X=Y=2$ y $Z=0$ . Por lo tanto, $$\det A=\pm4\quad \text{ or }\quad \det A=0.$$
• Si exactamente tres de los números $r,s,t,u$ son pares, entonces exactamente uno de los números $X,Y$ es $0$ el otro es $2$ y $Z=2$ . Por lo tanto, $$\det A=\pm4\quad \text{ or }\quad \det A=0.$$
• Si exactamente dos de los números $r,s,t,u$ son pares, entonces $X=-Y\in\{0,2\}$ y $Z=0$ . Por lo tanto, $$\det A=\pm4\quad \text{ or }\quad \det A=0.$$
• Si exactamente uno de los números $r,s,t,u$ es par, entonces exactamente uno de los números $X,Y$ es $0$ el otro es $2$ y $Z=2$ . Por lo tanto, $$\det A=\pm4\quad \text{ or }\quad \det A=0.$$
• Si todos los números $r,s,t,u$ son impar, entonces $X=Y=-2$ y $Z=0$ . Por lo tanto, $$\det A=\pm4\quad \text{ or }\quad \det A=0.$$

Desde $\det A\neq 0$ por hipótesis, se deduce que $\det A =\pm 4$ .