¿Cómo se demuestra que el determinante de una matriz de 3 por 3 con entradas de 1 y -1 (suponiendo filas linealmente independientes) será siempre 4 o -4?

Question

Supongamos que A es un $3\times3$ matriz, donde todas las entradas son $1$ o $-1$ y las filas son linealmente independientes.

¿Por qué el determinante siempre será $4$ o $-4$ ?

Answer 1

SUGERENCIA:

Añadir la primera columna a la columna $2$ y $3$ . El determinante no cambia. Ahora las nuevas columnas $2$ y $3$ son divisibles por $2$ . Así que el determinante es divisible por $4$ .

El determinante tiene $6$ términos, cada $\pm 1$ . Así que está entre $-6$ y $6$ .

Answer 2

Aquí hay una prueba un poco oscura, sólo por diversión.

Como todas las entradas de $A$ son iguales a $\pm1$ las entradas diagonales de $A^TA$ son iguales a $3$ y las entradas no diagonales de $A^TA$ son números Impares entre $-3$ y $3$ . Sin embargo, como $A$ se supone que es no singular, $A^TA$ es positiva definida. Por lo tanto, su principal $2\times2$ las submatrices también son definidas positivas. Se deduce que las entradas no diagonales de $A^TA$ no puede ser igual a $\pm3$ y sólo pueden ser iguales a $\pm1$ . Por lo tanto, negando las filas correspondientes de $A$ si es necesario, podemos suponer que $$ A^TA=\pmatrix{3&1&1\\ 1&3&s\\ 1&s&3} $$ donde $s=\pm1$ . Por lo tanto, $\det(A^TA)$ es igual a $20$ cuando $s=1$ y $16$ cuando $s=-1$ . Como $A$ es una matriz entera, $\det(A^TA)=\det(A)^2$ debe ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto $\det(A)^2=16$ y $\det(A)=\pm4$ .

Answer 3

Dado que la multiplicación de una fila de $A$ por una constante $c$ cambia el determinante de $\det(A)$ à $c\times\det(A)$ podemos multiplicar las filas por $\pm1$ y supongamos que $$ A=\begin{pmatrix}1&a&b\\1&c&d\\1&e&f\end{pmatrix}. $$ Como restar una fila por otra no afecta al determinante, podemos cambiar $A$ sea de la forma $$ \begin{pmatrix}1&a&b\\0&c-a&d-b\\0&e-a&f-b\end{pmatrix}. $$ Al notar que no podemos tener $c-a=e-a=0$ si no, las filas no son linealmente independientes, podemos suponer que es de la forma $$ \begin{pmatrix}1&a&b\\0&\pm2&d-b\\0&e-a&f-b\end{pmatrix}. $$

Ahora bien, si $e-a=0$ entonces $f-b\ne0$ Así que $f-b=\pm2$ y $\det(A)=\pm4$ . Si $e-a\ne0$ entonces $e-a=\pm2=\pm(c-a)$ .

Si $e-a=c-a$ entonces podemos restar la tercera fila por la segunda fila, y $A$ se convierte en $$ \begin{pmatrix}1&a&b\\0&\pm2&d-b\\0&0&f-d\end{pmatrix}. $$ De nuevo, esto implica $\det(A)=\pm4$ .

Pero $e-a$ no puede ser igual a $-(c-a)$ ya que esto significa $e+c=2a$ , lo que implica $e=c$ y por lo tanto $e-a=c-a$ una contradicción.

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Si hay algún error o confusión, por favor hágamelo saber. Gracias de antemano.

Answer 4

Recordemos que las siguientes operaciones de fila/columna sólo cambiarán el determinante con un signo negativo:

1. Multiplicar una fila/columna por $-1$ ;

2. Intercambiar dos filas/columnas.

A partir de ahora sólo utilizaremos estas dos operaciones.

Ahora empecemos con un $3\times3$ matriz con $\pm1$ entradas. Se realizan las multiplicaciones de filas necesarias mediante $-1$ para que las primeras entradas de la columna sean todas $1$ . La segunda columna tendría una o dos entradas, pero no cero o tres entradas, siendo $-1$ debido a la suposición de que la matriz tiene filas linealmente independientes (lo que equivale a tener columnas linealmente independientes). Si se trata de dos entradas que son $-1$ multiplique la segunda columna por $-1$ para que sea sólo una entrada que se $-1$ . También intercambia las filas para que sea la primera fila de la segunda columna la que esté $-1$ .

Ahora la tercera columna no puede tener la segunda y la tercera entrada siendo ambas $1$ o ambos $-1$ o las columnas son linealmente dependientes. Deben ser diferentes. La primera entrada puede ser $1$ o $-1$ .

La matriz obtenida tiene el siguiente aspecto $$\begin{bmatrix}1&-1&a\\1&1&\pm1\\1&1&\mp1\end{bmatrix}$$ donde $a$ es $1$ o $-1$ . Se puede resolver el determinante de esta matriz resultante como $\pm4$ . El determinante de la matriz inicial es el mismo de la última matriz, o es el negativo, porque las operaciones fila/columna sólo cambian el signo del determinante.

Answer 5

Sólo por diversión, esta es la mejor prueba por agotamiento para comprobar rápidamente el hecho declarado.

Para las matrices de pequeño tamaño es fácil enumerarlas todas utilizando una hoja de cálculo.

Para el $3\times 3$ caso podemos poner cada una de las matrices con $\pm1$ elementos en una fila de 9 elementos, $2^9=512$ filas en total, añade una columna con la fórmula del determinante, y luego utilizar countif() fórmula para descubrir que junto con 320 elementos cero, hay $96$ matrices con $\det=-4$ y la misma cantidad para $\det=4$ , $512$ en total, es decir, no hay ningún otro valor de los determinantes.

La tabla en sí es muy fácil de construir, de forma similar a la tabla verdadera para una función booleana de $9$ pero utilizando $-1$ en lugar de $0$ , empezando por la fila de nueve $-1$ entradas.

Del mismo modo, se puede comprobar que para $4\times4$ matrices los posibles determinantes son $\pm8$ y $\pm16$ .