¿Cuáles son las razones para no apoyar las matemáticas constructivas?

Question

Es obvio que en las matemáticas constructivas no se puede utilizar la ley del medio excluido. ¿Cuáles serían, si no, las razones para no adoptar la postura constructiva en matemáticas?

Answer 1

Se trata de una cuestión filosófica más que matemática, aunque los resultados matemáticos pueden aportar una visión importante.

Por sí mismo, el no poder utilizar el medio excluido no es una justificación para la lógica constructiva, como tampoco lo es el poder utilizar el medio excluido para la lógica clásica. La justificación viene en los beneficios que se derivan de evitar el medio excluido, o que se derivan de usarlo.

La lógica clásica es la lógica de las estructuras, de las cosas que "existen" en algún sentido, o que al menos tienen propiedades objetivas, independientemente de que podamos verificar esas propiedades. Así, por ejemplo, si tengo una función que asigna a cada número real o bien "rojo" o bien "azul", entonces o bien a cada número real se le asigna "rojo" o bien a algún número real se le asigna "azul". Este último hecho no es "constructivamente demostrable", porque las matemáticas constructivas no tratan de lo que es verdadero, sino de lo que podemos verificar (por supuesto, cualquier cosa que podamos verificar como verdadera es verdadera). El hecho de que yo sepa que "no todos los números reales tienen asignado el color rojo" no significa que conozca un número real concreto al que se le asigne el color "azul", y por tanto no tengo forma de verificar que algún número real tiene asignado el color "azul" aunque sepa, clásicamente, que debe haber uno.

Así, en cierto sentido, la lógica clásica es la lógica de la verdad y las lógicas constructivas son lógicas de verificación. Por verificación me refiero a algo más que a una simple "prueba"; me refiero al tipo de cosas que se recogen en el Interpretación de BHK . En los entornos en los que nos interesa ese tipo de verificación -por ejemplo, en las matemáticas computables-, una lógica constructiva funcionará bien. En entornos en los que simplemente queremos razonar sobre la verdad, más que sobre la verificación concreta, es mejor la lógica clásica. La mayoría de los matemáticos están interesados en razonar sobre objetos matemáticos, y por ello utilizan la lógica clásica.

Answer 2

Históricamente, la razón principal por la que Hilbert y otros han rechazado la matemática constructiva fue porque significa que tienen que utilizar formas más restringidas de razonamiento y algunos sintieron que prohibir la PEM en las matemáticas es atar las manos de los matemáticos. O en otro lenguaje colorido debido a Hilbert, se sintió como ser expulsado del "Paraíso Cantoriano" de la teoría de conjuntos (los matemáticos son personas muy conservadoras con respecto a las matemáticas).

También parecía que al aceptar el constructivismo había que tirar a la basura una cantidad considerable de matemáticas desarrolladas hasta entonces. Aún más preocupante para ellos era el hecho de que algunos resultados clásicos se vuelven no sólo indemostrables sino falsos en su lectura constructiva literal. (No es muy sorprendente, después de todo, no se puede esperar mucho si se intenta leer una frase en inglés como si estuviera escrita en francés).

Por ello, el rechazo no fue tan filosófico como podría parecer. El propio Hilbert era un finitista. Veía los objetos ideales como medios que ayudan a demostrar resultados, pero pensaba que no son realmente necesarios. Uno de los objetivos de su programa de teoría de la prueba era asegurarse de que el uso de objetos "ideales", como los conjuntos abstractos y los números reales, no condujera a resultados incorrectos sobre objetos "reales", como los números naturales.

Además, afirmar o demostrar los resultados de forma constructiva no suele ser sencillo. El lenguaje constructivo tiene en cuenta la información cuando hablamos de objetos matemáticos. La forma en que se representa y se da un objeto es importante. Los conceptos clásicamente equivalentes (por ejemplo $\lnot (\lnot p \land \lnot q)$ contra. $p \lor q$ Los números reales de Dedekind frente a los números reales de Cauchy, etc.) se diferencian.

Sugeriría echar un vistazo a las matemáticas constructivas del estilo de Bishop. Bishop trató de abordar estas cuestiones y obtener una matemática constructiva que es compatible con la matemática clásica y sería más aceptable para los matemáticos de mentalidad clásica.

Otra cuestión, como se menciona en los comentarios, es que en algún momento Godel demostró que, desde la perspectiva de la seguridad de los fundamentos matemáticos, no hay mucha diferencia entre lo clásico y lo constructivo. Simplificando, esto significa que demostrar un resultado de forma clásica es lo mismo que demostrar la traducción de Godel del resultado de forma constructiva. Así que el principal argumento original a favor de las matemáticas constructivas (es decir, que son más seguras) se volvió inútil.

Las matemáticas constructivas sufrieron un continuo declive entre los matemáticos hasta que se hizo evidente su relevancia para los ordenadores. Me parece que finalmente la relación con la matemática computacional (por ejemplo, la teoría de tipos al estilo de Martin-Löf) fue un factor más importante en el renacimiento de la matemática constructiva que las cuestiones filosóficas. (El constructivismo al estilo de Bishop también tuvo un efecto considerable).

Answer 3

Una justificación que he escuchado es algo así: uno de los propósitos de las matemáticas constructivas es que están más cerca de ser aplicables en el mundo real. Pero los métodos no constructivos son útiles para llegar a los resultados de forma más rápida. Una vez que un resultado se demuestra de forma no constructiva, se puede investigar su contenido constructivo (y, por tanto, su aplicabilidad en el mundo real).

Answer 4

Desde entonces:

1. las matemáticas clásicas parecen funcionar, y
2. es mucho más simple que las matemáticas constructivas, y
3. Todavía no tengo claro cómo y en qué sentido mis matemáticas serían mejores si fueran constructivas,

por estas razones me quedo con las matemáticas clásicas por el momento.

Por otro lado, yo soporte matemáticas constructivas, en el sentido de que creo que es genial que la gente esté trabajando en estas cosas.