¿Por qué no da la integración del área del cuadrado el volumen del cubo?

Question

Este semestre tuve un curso de cálculo en el que me enseñaron que la integración del área da el tamaño (volumen):

$$V = \int\limits_a^b {A(x)dx}$$

Pero esto no parece funcionar con el cuadrado. Dado que el tamaño del área del cuadrado es $x^2$ entonces $A(x) = {x^2}$, entonces:

$$V = \int\limits_{ - r}^r {{x^2}dx} = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{ - r}^r = \frac{{{r^3}}}{3} - \frac{{ - {r^3}}}{3} = \frac{2}{3}{r^3}$$

Está claro que este no es el volumen del cubo. ¿Por qué es esto así? ¿Estoy entendiendo algo mal?

Answer 1

Debería ser:

$$V = \int_0^a a^2 dz$$

donde $a$ es la longitud de uno de los lados del cuadrado.

O usando tu notación:

$$V = \int_0^x x^2 dz$$

donde $z$ es la dimensión sobre la que estás integrando.

Answer 2

De hecho, tienes dos errores allí:

El menor es que pareces querer un cubo de lado $2r$, ya que tu integral va de $-r$ a $r.

El error mayor, como otros han mencionado, es que estás encontrando el volumen de una pirámide, no de un cubo. De hecho, ya que estás integrando de $-r$ a $r$, estás encontrando el volumen de dos pirámides, una boca abajo, tocando en sus puntos. Por eso obtienes $2r^3/3$, cuando el volumen de una pirámide es $r^3/3$.

Answer 3

El verdadero problema aquí no son los puntos finales de tu integral, sino que la función que estás integrando no es constante con respecto a la variable de integración. Un cubo tiene la misma sección transversal en todas partes, mientras que en tu integral original la sección transversal es más grande en los extremos que en el medio. Ver la solución de @response para la forma correcta de configurar esto.

Answer 4

¿Puedes decirme qué representa tu solución propuesta? Creo que es mucho más interesante (y importante) que puedas ver la integral y entender qué significa.

Si piensas en $x^2$ en términos del área de un cuadrado de lados $x$, entonces tu integral propuesta calcula el volumen de un sólido que consiste en dos pirámides cuadradas idénticas (como una pirámide egipcia) colocadas punta contra punta, formando un sólido con forma de reloj de arena (pero con lados planos). Las puntas de ambas pirámides se encuentran en el origen y cada pirámide tiene una altura de $r$ unidades. ¿Ves por qué es así?

El volumen también resulta ser igual al de un octaedro irregular de arista $r$ que mide $2r$ de vértice a vértice. Es fácil pasar del reloj de arena cuadrado al octaedro tomando una de las pirámides y dándola vuelta, de modo que se encuentren en la base en lugar de en los vértices. Ten en cuenta que este es un octaedro "puntiagudo", no uno regular (platónico) porque las caras de las pirámides no resultan ser triángulos regulares (así fue como me convencí de eso: la sección de las pirámides es un triángulo de base $r$ y altura $r$. Eso es "más alto" que un triángulo regular; las caras de las pirámides son como tomar una de estas secciones y estirarla hacia afuera tirando de la base, así que necesariamente son aún "más altas" que un triángulo regular).

Pero $x^2$ no tiene que ser el área de un cuadrado (de hecho, no tiene que ser un área en absoluto; simplemente nos gustan las interpretaciones geométricas porque son divertidas).

Entre otras cosas, $x^2$ puede ser el área de un círculo de radio $x\over\sqrt{\pi}$ (¿ves por qué?). En esa interpretación, tu integral calcula el volumen de un cono (de nuevo, en forma de reloj de arena). El volumen de un cono es efectivamente $1\over 3$ del volumen de su cilindro circundante, que en este caso tendría una base de $r^2$ (el más grande de los círculos) y una altura de $2r$ (uno $r$ para cada mitad del "reloj de arena"). Es decir, ${1\over3} \times (r^2 \times 2r) = {2\over 3} r^3$.

¿Qué tiene de especial la interpretación del círculo y el cuadrado de la fórmula? ¡Absolutamente nada! Incluso después de decidir que solo estamos considerando interpretaciones geométricas de la integral, la integral no hace ninguna afirmación sobre la forma de la figura cuya área calcula el integrando. Mientras el área sea igual al cuadrado de su altura desde el plano horizontal, la figura puede tener forma de círculo, cuadrado o de un pretzel aplanado, y el volumen del volumen extruido con forma de reloj de arena siempre será el mismo.

Jugar con estas interpretaciones geométricas es una excelente manera de familiarizarse con las integrales, y con el tiempo debería enseñarte a tener sentido de cuándo "algo parece estar mal".

Answer 5

En general, si un sólido tiene un área de sección transversal $A$ que es constante a lo largo de su longitud normal, digamos $L$, entonces el volumen de dicho sólido es $$\color{blue}{V=\int_{0}^L Adx=A\int_{0}^L dx=A[L-0]=AL}$$ En realidad, el área del cuadrado no varía con la distancia $x$ en un cubo. Es $a^2$ que es constante a lo largo de toda la longitud $x=a$, por lo tanto, el volumen $V$ del cubo = $$\int_{0}^a a^2dx=a^2\int_{0}^a dx=a^2[a-0]=a^3$$