¿Demostración e intuición de la fórmula determinante?

Question

[Me he dado cuenta de que ya se han hecho preguntas similares aquí, pero no he podido encontrar una respuesta satisfactoria para mí como principiante, así que he optado por publicar esta pregunta].

Estoy empezando a enseñarme álgebra lineal con  Álgebra lineal y teoría de grupos . El libro comienza con el concepto de determinante con la definición de permutaciones pares e Impares  dando el ejemplo de una matriz de {3 por 3} con la siguiente ecuación:

$$\begin{vmatrix} a_{11}\ \ a_{12}\ \ ...\ \ a_{1k}\ \ ...\ \ a_{1n}\\a_{21}\ \ a_{22}\ \ ...\ \ a_{2k}\ \ ...\ \ a_{2n}\\...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\\a_{n1}\ \ a_{n2}\ \ ...\ \ a_{nk}\ \ ...\ \ a_{nn}\end{vmatrix}=\displaystyle\sum_{(p_1, p_2, ..., p_n)}(-1)^{[p_1, p_2, ..., p_n]}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$$

donde $[p_1, p_2, ..., p_n] $ es el número de inversiones de permutación $p_1, p_2, ..., p_n$

Así que como no se da ninguna justificación en el libro para la ecuación anterior para { $n$ por $n$ array} y el concepto de determinante se siente un poco impar en primer lugar, traté de investigarlo yo mismo:

[Paso 1]: Empecé con una matriz de {2 por 2} primero, tomando un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas:

$$(eq1):\ a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\(eq2):\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2$$ $$A=\begin{Vmatrix} a_{11}\ \ a_{12}\\a_{21}\ \ a_{22}\end{Vmatrix}$$ con el determinante $detA$

[Paso 2]: Luego traté de eliminar { $x_2$ sur $eq1$ } y { $x_1$ sur $eq2$ } haciendo lo siguiente:

$$(eq1 \cdot a_{22})-(eq2 \cdot a_{12})=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1\\(eq2 \cdot a_{11})-(eq1 \cdot a_{21})=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2$$

[Paso 3]: Me di cuenta de que los dos coeficientes anteriores me dan el determinante de la matriz, así que entonces postulé el siguiente enunciado: 

el determinante es {el coeficiente de la incógnita $x_k$ sur $k$ fila} después de eliminar otras incógnitas de la $k$ fila por {multiplicación} y {restar otras filas} en la matriz.

es decir, si tengo un $n$ matriz de orden $$N=\begin{Vmatrix} a_{11}\ \ a_{12}\ \ ...\ \ a_{1k}\ \ ...\ \ a_{1n}\\a_{21}\ \ a_{22}\ \ ...\ \ a_{2k}\ \ ...\ \ a_{2n}\\...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\ \ ...\\a_{n1}\ \ a_{n2}\ \ ...\ \ a_{nk}\ \ ...\ \ a_{nn}\end{Vmatrix}$$ Eventualmente puedo transferir $N$ en $$\begin{Vmatrix} detN & 0 & ... & 0 & ... & 0\\0 & detN & ... & 0 & ... & 0\\... & ... & ... & ... & ... & ...\\0 & 0 & ... & 0 & ... & detN\end{Vmatrix}$$

[Paso 4]: He probado mi declaración con un array de {3 por 3} y parece que funciona. Y la idea de impar y permutación par parece ser más intuitivo ya que tiene que ver con el orden de la resta en función de la fila de las incógnitas.

Así que aquí vienen mis preguntas

1. si mi suposición es correcta, ¿cómo construyo la fórmula de permutación al principio de la pregunta para { $n$ por $n$ array} sin definir el determinante utilizando un conjunto de operaciones formalistas en primer lugar?
2. He visto múltiples respuestas que hablan de la intuición geométrica del determinante (y a grandes rasgos capto la idea). ¿Cómo se conecta la intuición de la permutación, o se transfiere a la intuición geométrica?

[Nota: Nunca he estudiado álgebra abstracta, por lo que se agradecerán las respuestas que no utilicen las notaciones del álgebra abstracta. :) ]

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EDIT: Creo que he resuelto mi pregunta 2 (la intuición geométrica).... corregidme si me equivoco

Así que, de nuevo, usando un array de {2 por 2} como ejemplo:

[Paso 1]: Supongamos de nuevo que tengo las siguientes ecuaciones y array

$$(eq1):\ a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\(eq2):\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2$$ $$A=\begin{vmatrix} a_{11}\ \ a_{12}\\a_{21}\ \ a_{22}\end{vmatrix}$$ con el determinante $detA$

[Paso 2]: Puedo transferir inmediatamente la matriz a $$\begin{Vmatrix} detA & 0\\0 & detA\end{Vmatrix}$$ [Paso 3]: Debido a que la matriz anterior es el coeficiente de $x_1$ y $x_2$ Puedo escribir las incógnitas como un vector $$\begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}$$ que hace que el { $detA$ array} una transformación lineal cuando se multiplica con este vector

Answer 1

Parece que has redescubierto el matriz adjunta . Supongo que podrías intentar utilizarlo para definir el determinante, pero dudaría de que estuviera bien definido, es decir, que fuera independiente de las decisiones que hayas tomado al reducir las filas. Es básicamente otra forma de pensar en La regla de Cramer .

La forma indiscutiblemente* correcta de introducir los determinantes es a través de álgebra exterior utilizando el mapa inducido en la mayor potencia exterior. Esto es demasiado técnico para prácticamente cualquier persona que esté aprendiendo, por desgracia. Así que los diferentes autores escogerán trozos aleatorios de la imagen real que crean que son lo suficientemente agradables para su público.

Pero puedo darte fácilmente una idea de lo que ocurre y de por qué las inversiones aparecen de forma natural, si estás dispuesto a aceptar un poco de fe.

Supongamos que $\vec{u}, \vec{v}$ son vectores 2D. Sea $f(\vec{u}, \vec{v})$ sea el área del paralelogramo que determinan. Imagina que sustituyes $\vec{u}$ con $t\vec{u}$ para un escalar $t$ que varía de $1$ à $-1$ . Tenemos $f(t\vec{u}, \vec{v}) = |t|f(\vec{u}, \vec{v})$ . Sin embargo, ese signo de valor absoluto es un poco extraño: ¡impide que la función sea suave! Se siente como si tal vez cuando $t$ pasa por cero, deberíamos usar un "área negativa". Ésta acaba siendo la opción correcta. En 3D, la noción de "orientación" acaba siendo extremadamente natural si se hace algo con, por ejemplo, gráficos por ordenador. Así que, efectivamente, nos deshacemos del signo de valor absoluto e introducimos un zona señalizada . De manera más general, nos interesaría la hipervolumen firmado de la $n$ -Paralelogramo de una dimensión determinado por $n$ vectores en $n$ -espacio dimensional.

En 2D, si juegas con ello, encontrarás cualquier función de área firmada razonable $A(\vec{u}, \vec{v})$ debe satisfacer al menos tres propiedades:

1. Escala: $A(c\vec{u}, \vec{v}) = cA(\vec{u}, \vec{v})$
2. Linealidad: $A(\vec{u}_1 + \vec{u}_2, \vec{v}) = A(\vec{u}_1, \vec{v}) + A(\vec{u}_2, \vec{v})$
3. Alternando: $A(\vec{u}, \vec{v}) = -A(\vec{v}, \vec{u})$

Obsérvese que (3) dice $A(\vec{u}, \vec{u}) = 0$ que se desprende de la interpretación de la zona (¡vaya!).

Bien, ¿y si tuviéramos las coordenadas de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en términos de los vectores base estándar lo que sería $A$ ¿estar en esas coordenadas? Es decir, supongamos que $\vec{u} = a_{11} \vec{e}_1 + a_{21} \vec{e}_2$ , $\vec{v} = a_{12} \vec{e}_1 + a_{22} \vec{e}_2$ . Utilizando libremente las propiedades (1)-(3), calculamos:

\begin{align*} A(\vec{u}, \vec{v}) &= A(a_{11} \vec{e}_1 + a_{21} \vec{e}_2, a_{12} \vec{e}_1 + a_{22} \vec{e}_2) \\ &= a_{11} a_{21} A(\vec{e}_1, \vec{e}_1) + a_{11} a_{22} A(\vec{e}_1, \vec{e}_2) + a_{21} a_{12} A(\vec{e}_2, \vec{e}_1) + a_{21} a_{22} A(\vec{e}_2, \vec{e}_2) \\ &= (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) A(\vec{e}_1, \vec{e}_2) \\ &= (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}). \end{align*}

Esto es exactamente el determinante de la matriz 2x2 que enumera las coordenadas de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en sus columnas.

Puedes jugar al mismo juego con $n \times n$ matrices. Verás rápidamente que la expresión resultante será una suma sobre permutaciones, y la única cuestión será qué signo utilizar. El número de inversión es simplemente el número de permutaciones necesarias para enderezar el término correspondiente, ¡para que tenga la paridad correcta!

Bien, pero existencia de una función $A$ satisfacer (1)-(3) no está necesariamente claro. Para demostrarlo de forma rigurosa, hay que invertir todo el proceso, primero definiendo los números de inversión y estudiando sus propiedades básicas, y luego utilizando la fórmula de expansión de Laplace para definir el determinante, entonces demuestras que realmente satisface las propiedades (1)-(3). O se podría hacer una versión más avanzada de lo mismo introduciendo el álgebra exterior. Pero en algún momento vas a tener que demostrar que el $n$ el producto exterior de un $n$ -es un espacio vectorial de dimensiones $1$ -(y no $0$ -), lo que requerirá algún tipo de construcción como ésta sea cual sea.

*(¡Ja!)