Extensión del anillo de valoración discreta tal que $A[\pi]$ no es integralmente cerrado

Question

Dejemos que $B/A$ sea una extensión integral finita de anillos de valoración discreta de característica cero.

Pregunta. ¿Existe un uniformizador $\pi$ sur $B$ tal que $A[\pi]$ ¿es un anillo de valoración discreta?

Si no es así, ¿se puede dar un ejemplo explícito? Nótese que para dar tal ejemplo la extensión de campos de residuos tiene que ser INseparable. ¿Hay algún ejemplo con la extensión de los campos de residuos PURAMENTE inseparable?

Answer 1

Supongamos que $A$ se completa con un campo de residuos imperfecto $k$ de la característica $p>0$ . Sea $a\in A$ cuya clase en $k$ no es un $p$ - de la potencia. Sea $t$ sea un elemento uniformador de $A$ y que $K=\mathrm{Frac}(A)$ . Considere la extensión del campo $$L=K[X]/(X^{p^2}-t^pa).$$ Tiene grado $p^2$ . Sea $B$ sea el cierre integral de $A$ sur $L$ . Es un DVR y es finito sobre $A$ porque $A$ está completo. Dejemos que $\pi$ sea la clase de $X$ sur $L$ . Entonces $(\pi^p/t)^p=a$ . Así que $e_{B/A}\ge p$ y porque $a$ no es un $p$ -enfermedad en $k$ el grado de la extensión del residuo es $\ge p$ . Por lo tanto, $e_{B/A}=p$ y $\pi$ es un elemento uniformador de $B$ .

Como $A[\pi]\simeq A[X]/(X^{p^2}-t^pa)$ no está cerrada integralmente considerando el elemento $\pi^p/t$ .

En este ejemplo $B=A[\pi, \pi^p/t]$ .