Área bajo la gráfica de $r\mapsto\binom nr$

Question

La pregunta:

Dado $n$ es un número natural y $r$ varía de $0$ à $n$ halle el área bajo la gráfica de $r\mapsto\binom nr$ , tomando el $\Gamma$ -Definición de función de factorial.

Antecedentes: Sólo soy un estudiante de bachillerato y no sé lo suficiente de cálculo como para plantear una pregunta como ésta. La pregunta surgió cuando mi profesor de matemáticas del instituto nos dijo que existe una función conocida como $\Gamma$ -que es una extensión de la función factorial a todos los números reales. Inmediatamente me vino a la cabeza esta pregunta, ya que el teorema del binomio tiene que ver con los factoriales. He aprendido algunas de las propiedades de la función $\Gamma$ -y aprendimos a resolver algunas integrales definidas utilizando la función $\Gamma$ -función desde entonces, pero no sé cómo abordar ésta. Desde entonces me ha estado dando la lata. Incluso me gustaría saber si esto se puede resolver o no (a mano y no con ordenadores).

Answer 1

Si lo he entendido bien, te gustaría calcular $$I_n=\int_0^n \binom{n}{r}\,dr=n!\, \int_0^n \frac {dr} {(n-r)!\,\, r!}=\Gamma (n+1)\, \int_0^n \frac{dr}{\Gamma (r+1)\, \Gamma (n-r+1)}$$ Lamentablemente, no existe una forma cerrada ni siquiera para $$\int_1^a {\Gamma (r)}\,dr\qquad \text{or} \qquad \int_1^a \frac{dr}{\Gamma (r)}$$ y se enfrentará a la integración numérica.

Para tu curiosidad, te doy a continuación algunos valores de $\log_{10}(I_n)$ desde $I_n$ varía extremadamente rápido $$\left( \begin{array}{cc} n & \log_{10}(I_n) \\ 10 & 3.01007 \\ 20 & 6.02060 \\ 30 & 9.03090 \\ 40 & 12.0412 \\ 50 & 15.0515 \\ 60 & 18.0618 \\ 70 & 21.0721 \\ 80 & 24.0824 \\ 90 & 27.0927 \\ 100 & 30.1030 \end{array} \right)$$ Si los graficas, puedes ver que esto es casi $$\log_{10}(I_n)= n\log_{10}(2)\implies I_n \sim 2^n$$ lo cual es normal ya que $$I_n \sim \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}=2^n$$