Curvatura de una curva en una superficie

Question

No sé cómo resolver este problema en la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies de Do Carmo. ¿Alguien puede ayudarme?

Dejemos que $C$ ser un regular curva en una superficie $S$ con curvatura gaussiana $K>0$ y las curvaturas principales $k_1$ y $k_2$ . Demuestre que la curvatura $k$ de $C$ en $p$ se satisface: $k\ge min\{|k_1|,|k_2|\}$ .

¿Tengo que utilizar la curvatura normal para resolver el problema?

Answer 1

Sí, tienes que usar la curvatura normal. Debido a \begin{equation}\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2 \end{equation} es suficiente para demostrar $\kappa_n\geq \min \{k_1,k_2\}$ , donde $\kappa_g, \kappa_n$ denotan la curvatura geodésica y la normal. A partir de ahora podemos suponer que la curva $c:I\to S$ se parametriza por la longitud de arco. Por lo tanto, podemos escribir (en $t_0$ arbitrario) $c'=\cos(\alpha) w_1 + \sin(\alpha) w_2$ para algún ángulo $\alpha.$ Entonces \begin{equation}\kappa_n=\langle c'', \nu\circ c \rangle= -\langle c',(d\nu)(c')\rangle=II(c',c') \end{equation} y utilizando la bilinealidad de la segunda forma fundamental obtenemos (dependiendo de la convención de signos de las curvaturas principales) \begin{equation}II(c',c')=\cos(\alpha)^2 k_1 + \sin(\alpha)^2 k_2 \end{equation} Podemos elegir $\nu$ de tal manera que $k_1,k_2>0$ . Además, podemos suponer $k_1\geq k_2.$ Juntando todo, obtenemos \begin{equation}\kappa\geq \kappa_n=II(c',c')=\cos(\alpha)^2 k_1 + \sin(\alpha)^2 k_2\geq \cos(\alpha)^2 k_2 + \sin(\alpha)^2k_2=k_2=\min\{k_1,k_2\}. \end{equation}

Answer 2

Creo que querías preguntar

Demuestre que la curvatura normal $k_n$ de $C$ en $p$ se satisface:

$$k_n \ge min\{|k_1|,|k_2|\}$$

$$k_n \le max\{|k_1|,|k_2|\}$$

O

$$ |k_1|> k_n >| k_2|$$

Esto sale de la identidad de la curvatura normal escalar de Euler al encontrar los valores máximos y mínimos por diferenciación.

$$ k_n = k_1 cos^2 \theta + k_2 sin^2 \theta $$ Donde $\theta$ es el ángulo que forma la curva con la dirección 1.

EDICIÓN1 Si acaso hay que meter otra curvatura, que es la torsión geodésica $ \tau_g$ en lugar de $ k_g$ incluidos en el Círculo de Mohr.. y hace más claras sus magnitudes geométricas.