Si en cada punto de un intervalo cerrado el $m$ -derivada de $f$ es $0$ para $m$ lo suficientemente grande, entonces $f$ es polinómico

Question

Estoy trabajando en el ejercicio 9.5.2 de Análisis de Zorich y estoy atascado en la pregunta b.

a) Un conjunto $E\subset X$ de un espacio métrico $(X,d)$ no es denso en ninguna parte de X si no es denso en ninguna bola, es decir, si para cada bola $B(x,r)$ hay una segunda bola $B(x_1,r_1)\subset B(x,r)$ que no contiene ningún punto del conjunto $E$ . Un conjunto E es de primera categoría en X si puede representarse como una unión contable de conjuntos densos de ninguna parte. Un conjunto que no es de primera categoría es de segunda categoría en $X$ . Demuestre que un espacio métrico completo es un conjunto de segunda categoría (en sí mismo).

b) Demuestre que si una función $f\in C^{(\infty)}[a,b]$ es tal que $\forall x\in [a,b] \;\exists n\in \mathbb{N} \;\forall m>n \;(f^{(m)}(x)=0)$ entonces $f$ es un polinomio.

Aquí está mi intento: Definir los conjuntos $S_n:=\{x\in[a,b]\mid f^{(m)}(x)=0\; \forall m>n\}$ . Entonces $\cup_{n=1}^{\infty} S_n =[a,b]$ . Como $[a,b]$ es un espacio métrico completo, $S_n$ no puede ser todo denso en ninguna parte. Definir $Y:=\{x\in [a,b] \mid \text{ there exists a neighborhood of } x \text{ and } n \text{ such that } S_n \text{ is dense in that neighborhood}$ . Quiero decir que $Y=[a,b]$ para poder concluir con la compacidad de $[a,b]$ . Pero todo lo que puedo decir es que el complemento de $Y$ en $[a,b]$ no contiene ningún intervalo.

¿Puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

He aquí un esbozo de un posible enfoque, que puede tener algunos agujeros, pero es demasiado largo para un comentario. Tal vez alguien pueda arreglarlo.Retomando tu idea, pon

$T = \{t\in [a,b]: \forall (c,d)\ni t: f\restriction_{(c,d)}$ no es un polinomio $\}$

Entonces $T$ es no vacío y cerrado. Por construcción, no tiene puntos aislados. Ahora podemos aplicar el teorema de Baire sobre $\{T\cap S_n\}$ para encontrar un intervalo $(c,d)$ tal que para algunos $n\in \mathbb N,\ (c,d)\cap T\subset S_n$ .

Ahora, $f$ es un polinomio en $(c,d)\setminus T,$ que es abierto y por tanto contiene un intervalo $(\alpha,\beta)$ que podemos tomar como máximo: en efecto, $(c,d)\setminus T$ es una unión disjunta contable de intervalos $\bigcup_n(a_n,b_n)$ y así $\{x:a',b'\in (a,b)\setminus T\ \text{and} \ b'-a'\ge b_n-a_n\}$ es un intervalo máximo en $(a,b)\setminus T$ .

Ahora, o bien $\alpha$ o $\beta\in T$ . Supongamos que $\alpha\in T$ . Entonces, en cada intervalo $(c',c'')$ que contiene $\alpha,\ f$ es $not$ un polinomio. Elija $c'''$ tal que $c'<\alpha<c'''<c''<d$ . Entonces, $f$ no es un polinomio en $(c''',c'').$ Pero como $(c''',c'')\subseteq (\alpha,\beta)$ Así que tenemos una contradicción.

Por lo tanto, o bien no existe tal intervalo $(c,d)$ o $T$ está vacía. En cualquier caso, el resultado es el siguiente.

Answer 2

Puede "rastrear" el $m$ a la función original de forma recursiva. Si $f^{(m)}(x) = 0$ para todos $x \in [a,b]$ entonces $f^{(m-1)}(x) = \int f^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \int 0\,\mathrm{d}x=c_0$ . Posteriormente, $f^{(m-2)}(x) = \int c_0\,\mathrm{d}x=c_1x+c_0$ . Aplicando esta técnica $m$ veces, vemos que $f(x) = c_mx^m + c_{m-1}x^{m-1}+\dots + c_1x + c_0$ que es un polinomio por definición.

(Obsérvese que los índices $c_1, c_0$ etc. no son necesariamente los mismos para cada iteración, son sólo constantes arbitrarias, donde el índice indica la potencia de $x$ asociado a ella).

Answer 3

b) Demuestre que si una función $f\in C^{(\infty)}[a,b]$ es tal que $\forall x\in [a,b] \;\exists n\in \mathbb{N} \;\forall m>n \;(f^{(m)}(x)=0)$ entonces $f$ es un polinomio.

Basta con exigir que $f^n(x)=0$ y esto es un hecho conocido .