Secciones globales de la gavilla de rascacielos

Question

Estoy leyendo un libro escrito por Serre y, aunque es uno de los mejores escritores de matemáticas de la historia, hay un paso que no entiendo. Esto puede implicar que soy uno de los peores lectores de matemáticas de la historia. :-)

Por lo tanto, estamos tratando con una gavilla $S$ en una curva proyectiva $X$ y podemos demostrar que, dada una sección local no nula $s$ definido en una vecindad de un punto $P$ siempre existe un vecindario más pequeño $U$ de $P$ tal que $s$ se desvanece en el conjunto $U\setminus P$ . Entonces la afirmación es que $$ H^0(X, S) = \bigoplus_{P\in X} \;S_P $$ es decir, el espacio de las secciones globales coincide con la suma directa de los tallos.

Esto es intuitivamente me queda claro: a partir de lo anterior sabemos que el conjunto de puntos $P$ donde una sección global $s$ no es trivial es discreto. Además, es cerrado dentro de un espacio compacto, por lo tanto, él mismo es compacto. Como un conjunto discreto es compacto si es finito, vemos que $s$ no es trivial sólo en un número finito de puntos, y esto motiva la presencia de $\bigoplus$ en lugar de $\prod$ .

¿Es correcto mi razonamiento? ¿Existe una forma mejor/rápida/limpia de verlo?

Además, ¿es esto un hecho general, o depende de la naturaleza particular (que no he descrito aquí) de la gavilla $S$ ? En otras palabras, ¿es cierto que si una gavilla $F$ es una gavilla de rascacielos (lo que significa que su soporte se encuentra en un número finito de puntos) en una variedad proyectiva, entonces la fórmula anterior para sus secciones globales se mantiene?

Answer 1

Creo que el argumento del espacio étalé de la otra respuesta es bonito, ese fue también el primer argumento que me vino a la mente al leer el mismo(?) pasaje del libro de Serre. Pero cuando traté de escribirlo encontré otro argumento que me pareció más fácil de formalizar, así que tal vez tú también lo encuentres más convincente.

La afirmación es, de hecho, que $\mathcal{S}=\bigoplus_{P\in X}\mathcal{S}_{P}$ donde los sumandos de la derecha son las correspondientes poleas de rascacielos. Como tú mismo has señalado, hay un subconjunto abierto denso $U\subseteq X$ sobre el cual $\mathcal{S}$ no tiene secciones, por lo que $\mathcal{S}_{P}=0$ para todos $P\in U$ . Por lo tanto, la suma directa es efectivamente finita y no es necesaria la sheafificación. Si $Q\in X$ es un punto, entonces afirmamos que $$ \Gamma(V,\mathcal{S})=\bigoplus_{P\in X}\Gamma(V,\mathcal{S}_{P})=\Gamma(V,\mathcal{S}_{Q})=\mathcal{S}_{Q}, $$ donde $V$ es una vecindad abierta de $Q$ en $X$ que no contenga ningún otro punto con tallo distinto de cero. Más precisamente, queremos demostrar que la restricción al tallo $s\mapsto [(V,s)]$ es un isomorfismo. Para la inyectividad, supongamos que $s\in \Gamma(V,\mathcal{S})$ tiene $s_{Q}=0$ . Como todos los demás tallos de $\mathcal{S}$ en $V$ son $0$ obtenemos $s_{P}=0$ para todos $P\in V$ Por lo tanto $s=0$ . Para la subjetividad, dejemos que $t_{Q}=[(W,t)]\in \mathcal{S}_{Q}$ para algunos $Q\in W\subseteq V$ abierto y algunos $t\in \Gamma(W,\mathcal{S})$ . Encontrar un subconjunto abierto más pequeño $Q\in W'\subseteq W$ tal que $t|_{W'\setminus \{Q\}}=0$ y considerar la tapa abierta $V=W'\cup (V\setminus \{Q\})$ . Las secciones $t|_{W'}\in \Gamma(W',\mathcal{S})$ y $0\in \Gamma(V\setminus\{Q\},\mathcal{S})$ son ambos $0$ en la intersección, por lo que se pegan a una sección $\tilde{t}\in \Gamma(V,\mathcal{S})$ . Entonces $\tilde{t}_{Q}=t_{Q}$ porque $$ [(V,\tilde{t})]=[(W',t|_{W'})]=[(W,t)]. $$

El conjunto de tales conjuntos abiertos (al variar el punto $Q$ ) forma una base para la topología en $X$ . Dado que ambas láminas tienen las mismas secciones sobre una base de la topología, tienen que ser iguales.

P.D. Si esta es la parte de Serre Grupos algebraicos y campos de clase que creo que es, creo que hay una prueba más simple. Con la notación del libro: si $Q\in X$ es un punto y $U\subseteq X$ es una vecindad abierta de $Q$ en $X$ tal que todos los puntos de $U\setminus \{Q\}$ tienen coeficiente $0$ en el divisor $D$ entonces podemos describir explícitamente las secciones de ambos $\mathcal{A}$ y de $\bigoplus_{P\in X}\mathcal{A}_{P}$ como clases de equivalencia de funciones racionales $f$ en $X$ con $f\sim g$ si y sólo si $v_{Q}(f-g)+v_{Q}(D)\geqslant 0$ . Por lo tanto, ambas láminas tienen las mismas secciones sobre cada elemento de una base de la topología y, por lo tanto, las dos láminas son iguales.

Answer 2

Una idea sería entender esto a través del espacio étalé asociado a la gavilla.

Si $\mathcal{F}$ es una gavilla sobre $X$ el espacio étalé asociado a $\mathcal{F}$ es un espacio topológico que viene dado como conjunto por $$\tilde{\mathcal{F}} = \bigsqcup_{p \in X} \mathcal{F}_p$$ con una proyección $\pi: \tilde{F} \rightarrow X$ tomando cada elemento de $\mathcal{F}_p$ a $p$ . Este espacio tiene la propiedad de que para cualquier conjunto abierto $U \subseteq X$ las secciones $\mathcal{F}(U)$ corresponden a tramos continuos $s: U \rightarrow \tilde{\mathcal F}$ es decir, mapas continuos tales que $\pi \circ s = id_X$ .

En el caso de una gavilla de rascacielos con $\mathcal{F}_{p_i} \neq 0$ para $i \in \{ 1, \dotsc, n \}$ entonces $\tilde{\mathcal F} = \bigsqcup_\limits{i=1}^n \mathcal{F}_{p_i}$ y sus secciones globales $$ s: X \longrightarrow \bigsqcup_\limits{i=1}^n \mathcal{F}_{p_i}, $$ deben corresponder bijetivamente con puntos en $\bigoplus\limits_{i+1}^n \mathcal{F}_{p_i}$ .