He aquí un marco general. Un ODE algebraica es una ecuación diferencial ordinaria de la forma $$ P(y, y', y'',...,y^{(n)})=b(t), $$ donde $b(t)$ es la función (polinómica) dada, $y=y(t)$ es la función desconocida de una variable (real o compleja), $y^{(k)}$ es el $k$ -Derivada de orden de $y$ y $P(x_0,...,x_n)$ es un polinomio de $n+1$ variables.
En lo que sigue, seré bastante descuidado con los dominios de mis funciones ya que deletrear esto con todo detalle es demasiado doloroso
Un caso especial es un lineal La EDO algebraica, que tiene la forma $$ P_0(t)y(t) + P_1(t)y'(t)+...+ P_n(t) y^{(n)}(t)=b(t), $$ donde cada $P_i(t)$ es una función polinómica dada.
Se puede generalizar esta noción al ámbito de las funciones de varias variables (EDP algebraicas): $y=y(x_1,...,x_n)$ es la función desconocida, $P$ es un polinomio de muchas variables, $b=b(x_1,...,x_n)$ es la función polinómica dada, la ecuación tiene la forma $$ P(y,...,\frac{\partial^k y}{\partial x_{i_1} ... \partial x_{i_k}},....)=b(x_1,...,x_n). $$
Un ejemplo famoso: $y=y(x,t)$ , $$ \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial^3 y}{\partial x^3} - 6\, y\, \frac{\partial y}{\partial x} =0. $$ La mayoría (si no todas) de las funciones analíticas que se encuentran en las matemáticas aplicadas, la física, la biología matemática, etc., son soluciones de EDO algebraicas o EDP. De hecho, hay que esforzarse para encontrar cualquier función analítica que no sea una solución de una EDO algebraica (aunque existen). Cualquier cosa que construyas utilizando una "curva mecánica", estoy seguro de que será una solución de una EDO o EDP algebraica.
