Sobre el mapa conformado $f$ de un disco de hendidura en un disco unitario con la condición $f(i/2)=0$

Question

El disco de hendidura es $D$ \ $(-1,a]$ donde a pertenece a $(-1,1)$ . La pregunta me pide que encuentre un mapa conformacional desde este disco de hendidura al disco unitario y dicho mapa satisface $f(i/2) = 0$ . Actualmente no tengo ninguna pista segura de cómo construir un mapa así, pero supongo que tengo que empezar con ciertos mapas más simples y componerlos juntos para hacer esto $f$ . Entonces, ¿existe algún método o pensamiento general para construir dicho mapa?

Answer 1

Con $\frac{z-a}{1-az}$ enviar $D\setminus(-1,a]$ a $D\setminus(-1,0]$ ,

con $i z^{1/2}$ enviar $D\setminus(-1,0]$ a $|z|<1,\Im(z)>0$ ,

con la inversa de $z\to \frac{z-1}{z+1}$ enviar $|z|<1,\Im(z)>0$ , a $\Re(z)>0,\Im(z)>0$ ,

con $z^2$ enviar $\Re(z)>0,\Im(z)>0$ a $\Im(z)>0$ ,

que es biholomorfo al disco unitario con $\frac{z-i}{z+i}$ .

Componiendo con un automorfismo del disco unitario se obtiene $f(i/2) = 0$