En el libro Undergraduate Commutative Algebra de Miles Reid define un anillo $B$ para ser finito como un $A$ - álgebra si es finita como un $A$ - módulo. Ahora lo que no entiendo es suponer que miramos el anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$ donde $k$ es un campo. Entonces, como $k$ - álgebra se genera finitamente. ¿Es esto lo mismo que ser una álgebra finita $k$ - ¿Álgebra? Porque si es lo mismo esto significa que $k[x_1,\ldots,x_n]$ está generada finitamente como $k$ - que no es más que un $k$ - espacio vectorial. Sin embargo, esto no puede ser posible porque el $x_i's$ ni siquiera son algebraicas sobre $k$ . ¿Qué estoy entendiendo mal?
Respuesta
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Un $A$ -Álgebra $B$ se llama finito si $B$ es una entidad finitamente generada $A$ -es decir, hay elementos $b_1,\dotsc,b_n \in B$ tal que $B=A b_1 + \dotsc + A b_n$ . Se denomina de generación finita / de tipo finito si $B$ es una entidad finitamente generada $A$ -es decir, hay elementos $b_1,\dotsc,b_n$ tal que $B=A[b_1,\dotsc,b_n]$ . Es evidente que toda álgebra finita es también una álgebra finitamente generada. Lo contrario no es cierto (considere $B=A[T]$ ). Sin embargo, existe la siguiente conexión importante:
Un álgebra $A \to B$ es finito si es de tipo finito e integral.
Por ejemplo, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ e integral, por lo tanto finito. De hecho, $1,\sqrt{2}$ es una base como módulo. Puedes encontrar la prueba de la afirmación anterior en cualquier introducción al álgebra conmutativa.
