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¿Una curiosa propiedad de las sumas exponenciales para polinomios racionales?

Un artículo me llevó a generar algunas gráficas de sumas exponenciales de la forma $S(N)=\sum_{n=0}^Ne^{2\pi i f(n)}$ , donde $f(n)= {n\over a}+{n^2\over b}+{n^3\over c}$ con $a,b,c\in\mathbb{N}_{>0},\,$ dejándome sorprendido por su gran variedad. He aquí algunas muestras:

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Las cuatro filas superiores muestran gráficos que parecen ser ciclos (algunos muy asimétricos), mientras que las dos filas inferiores muestran gráficos que parecen ser truncamientos de lo que continuaría sin límite en una dirección fija. Todas las opciones de $a,b,c\in\mathbb{N}_{>0},\,$ ¡parecen dar uno de estos dos tipos de comportamiento!

Naturalmente, me pregunté qué estructuras se dan en el caso más general en el que $f$ es un polinomio racional arbitrario. Al ver las gráficas de cientos de polinomios racionales de varios grados con coeficientes "aleatorios", me llama la atención el hecho aparente de que todos ellos tienen la siguiente propiedad (¿sorprendente?):

El "paseo" en el plano complejo visita primero un conjunto finito de (digamos, $p$ ), luego visita el mismo conjunto de puntos, pero desplazado por una cantidad constante $c\in\mathbb{C}$ y luego visita el mismo conjunto desplazado por $2c$ , entonces por $3c$ etc. (Si $c=0$ el paseo es un ciclo con periodo $p$ o bien consiste en una copia continuamente desplazada del conjunto inicial de $p$ puntos).

En otras palabras, dado $f$ existe $p\in\mathbb{N}_{>0}$ tal que $S(n+p) - S(n) = S(p)-S(0)\ \ (= \text{constant $ c $})$ para todos $n\in\mathbb{N}.$

Pero, ¿por qué todo polinomio racional produce (aparentemente) este comportamiento? Esto parece absurdo, pero no he encontrado ningún contraejemplo.

Dejar $e_n:= \exp(2\pi i f(n)),$ podemos replantear la conjetura como sigue:

Conjetura : Si $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ es un polinomio con coeficientes racionales, entonces existe un número entero mínimo $p>0$ tal que $$e_n+e_{n+1}+\cdots+e_{n+p-1}=\text{constant ($ c $, say)}\ \ \text{for all $ y no se puede hacer nada; $}$$ es decir, cada bloque de $p$ términos consecutivos en la secuencia $\left(e_n\right )_{n\in\mathbb{N}}$ ¡tiene la misma suma!

Pregunta 1 : ¿Es un hecho conocido? En cualquier caso, ¿cómo demostrarlo? (O contraejemplo, si resulta que no es cierto).

Pregunta 2 : ¿Es posible determinar, en función de los coeficientes del polinomio, el número $p$ y constante $c$ (o al menos si el gráfico es cíclico)? (Me refiero, por supuesto, a alguna forma más sencilla que calcular el gráfico).


EDITAR: Como regla general, parece que $p$ siempre divide el producto de los denominadores de los coeficientes (y muy a menudo es igual a ese producto), pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo.

En cuanto a la constante "suma de bloques" $c$ la búsqueda ha hecho que aparezca el fórmula de la suma cuadrática de Gauss lo que implica que si $f(n)={a\over b}n^2$ con $b$ una prima impar y $a$ un número entero, entonces $$c = \left(\frac{a}{b}\right)\cdot\begin{cases} \sqrt{b} & \text{if}\ b\equiv 1\pmod 4, \\ i\sqrt{b} & \text{if}\ b\equiv 3\pmod 4 \end{cases} $$
donde el Símbolo de Legendre se define por $$\left(\frac{a}{b}\right) = \begin{cases} 1 & \text{if } a \text{ is a quadratic residue modulo } b \text{ and } a \not\equiv 0\pmod b, \\ -1 & \text{if } a \text{ is a non-quadratic residue modulo } b, \\ 0 & \text{if } a \equiv 0 \pmod b. \end{cases}$$

¿Existen fórmulas similares cuando $f$ es más complicado que un monomio cuadrático tan simple?

4voto

Escriba $f(x)=g(x)/m$ donde $g$ tiene coordenadas enteras. Entonces $$\exp(2\pi i f(n))=\zeta^{g(n)}$$ donde $\zeta=\exp(2\pi i/m)$ . Por lo tanto, $e_n$ se repite con el punto $m$ y cualquier bloque de $m$ consecutivos $e_n$ tiene la misma suma.

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