Propiedades interesantes de Fibonacci-como secuencias?

Question

Todo el mundo está familiarizado con la Secuencia de Fibonacci, [0] 1 1 2 3 5 8 ... y muchos interesantes propiedades. Por ejemplo, como sigue la secuencia, la relación de $\frac{F_n}{F_{n-1}}$ converge a $\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, una proporción que puede ser utilizado para describir una serie de relaciones numéricas en la naturaleza.

A partir de algunas rápida Wikipedia la navegación, podemos encontrar una serie de Generalizaciones de los números de Fibonacci. Para un resumen de generalización, podemos definir de Fibonacci-como secuencias de la siguiente manera:

Una $n$-orden de Fibonacci como la secuencia es generado por $F_n=\sum_{i=1}^{n}F_{n-i}$ $n$ términos iniciales.

Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci es una secuencia de con $n=2$ $F_0=0$ $F_1=1$

El uso de esta base de generalización, hemos Lucas Números, donde$n=2$$F_0=2$$F_1=1$, cuya consecutivos-cociente del número también converge a la proporción áurea. También hay Tribonacci, Tetranacci, y n-nacci números, que siga esta generalización para 3, 4, y n números, y de la almohadilla de la inicialización de los valores con 0, por ejemplo,$F_0=0$ ... $F_{n-2}=0$, $F_{n-1}=1$.

Entonces, mi pregunta es, ¿hay algún propiedades importantes de estas secuencias, que son vale la pena aprender? Hacer estas secuencias tienen aplicaciones en el mundo real o reflexiones como la original de la secuencia de Fibonacci? Qué se puede aprender de estos?

Answer 1

En general la recurrencia de la forma:

$$x_n = \sum_{i=1}^k {a_i x_{n-i}}$$

usted puede determinar una fórmula explícita en términos de las raíces del polinomio de grado k:

$$z^k - a_1{z^{k-1}} - a_2{z^{k-2}} - a_{k-1}z - a_k$$

Si el polinomio no tiene raíces repetidas, entonces la forma de la explícita fórmula será:

$$x_n = b_1 r_1^n + b_2 r_2^n + ... + b_k r_k^n$$

Donde el $b_i$ puede ser cualquier número, y el $r_i$ son las distintas raíces del polinomio.

Esto significa que "la mayoría del tiempo," $\lim\limits_{n\to \infty}{x_{n+1}/x_n}$ será igual a la raíz $r_i$ con el mayor valor absoluto tal que $b_i\neq 0$. Si dos $r_i$ tienen el mismo mayor valor absoluto, el convergente comportamiento puede ser extraña - que posiblemente nunca pueda converger.

Hay un montón de álgebra lineal involucrado en esto - la $r_i$s son los autovalores de una matriz en la cual se envía a $(x_i,x_{i+1},...,x_{i+k-1})$ $(x_{i+1},...,x_{i+k})$

En el caso de lo que usted llame a la k-nacci números, su polinomio es:

$$x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-..-1 = x^k -\frac{x^k-1}{x-1}$$

No estoy seguro de a qué se puede decir acerca de las raíces de este polinomio al $k>2$. Es fácil demostrar que no tiene raíces repetidas (un polinomio no tiene raíces repetidas de la misma es relativamente primos a su derivada.)

Answer 2

La mayoría de estos no son dignos de estudiar, excepto por el hecho de que existen y son fácilmente calculada. Vale la pena revisar Lucas números, pero no hay necesidad de aprender todas las propiedades.

Su tiempo estaría mejor invertido en la búsqueda en relaciones de recurrencia y la generación de funciones de mayor generalidad.

Si desea que una determinada secuencia similar al estudio, me permito sugerir Pell números que comienzan $0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, \ldots$, satisfacer $P_n = 2P_{n-1}+P_{n-2}$ y están relacionados con la $1+\sqrt{2}$, el llamado de plata de la relación. Que surgen en una variedad de circunstancias, por ejemplo, encontrar los números que son cuadrados y triangulares: $(P_n(P_n+P_{n-1}))^2$.

Answer 3

Definir secuencias de $$F(n) = [0],1,1,2,3,5,8,13,21,34\ldots \hspace{.5in} \mbox{ for } n=0,1,2,3\ldots$$ and $$L(n) = [2],1,3,4,7,11,18,29,47,89\ldots\hspace{.5in} \mbox{ for } n=0,1,2,3\ldots$$

Luego tenemos a $L(n) =F(n+1)+F(n-1)$. La relación de $L(n)/F(n)$ tiende a $\sqrt{5}$$n\to \infty$.

Ahora, definir las secuencias $$S_1\!(n) =[0] ,1 ,2 ,5 ,12 ,29 ,70\ldots\hspace{.5in} \mbox{ for } n=0,1,2,3\ldots$$ and $$S_2\!(n) = [-1] ,1 ,3 ,7 ,17 ,41 ,99 \ldots\hspace{.5in} \mbox{ for } n=0,1,2,3\ldots$$ Note that $S_1\!(n)=2S_1\!(n-1)+S_1\!(n-2)$ and $S_2\!(n)=2S_2\!(n-1)+S_2\!(n-2)$. For these two sequences, the ratio $S_2\!(n)/S_1\!(n)$ tends to $\sqrt{2}$ as $n\to \infty$.

Estos índices se usan para calcular el $\sqrt{2}$$\sqrt{5}$. El uso de $F(n)/L(n)$, $\sqrt{2}$ se ha calculado que más de un billón de dígitos. Estos ejercicios se realizan para poner a prueba la velocidad, la precisión y robustez de hardware y software.

Un ejemplo: \begin{align} 17^2-2*12^2&=1\\ 2*12^2&=17^2-1\\ 2&=\frac{17^2-1}{12^2}\\ \sqrt{2}&=\frac{17}{12}\sqrt{1-\frac{1}{289}} \end{align}

Ahora $\sqrt{1-1/289}$ puede ser escrito como una serie infinita para el cálculo.

Answer 4

No puedo pensar en al menos ocho de las cosas interesantes acerca de la tribonacci números y su limitación de relación, la tribonacci constante. Mientras que para los números de Fibonacci, el discriminante $\sqrt{5}$ juega un papel, por el tribonacci es $\sqrt{11}$.

I. Secuencias

Dado tres secuencias con recurrencia $s_n = s_{n-1}+s_{n-2}+s_{n-3}$, pero con diferentes valores iniciales como,

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Name} & \text{Formula} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & OEIS\\ \hline R_n & x_1^n+x_2^n+x_3^n &3 &1 &3 &7 &11 &21 &39 & 71 & A001644 \\ \hline S_n &\frac{x_1^n}{y_1}+\frac{x_2^n}{y_2}+\frac{x_3^n}{y_3}&3 &2 &5 &10 &17 &32 &59 &108 &(none)\\ \hline T_n &\frac{x_1^n}{z_1}+\frac{x_2^n}{z_2}+\frac{x_3^n}{z_3}&0 &1 &1 &2 &4 &7 &13 &24& A000073 \\ \hline \end{array}$$

$$y_i =\tfrac{1}{19}(x_i^2-7x_i+22)$$ $$z_i =-x_i^2+4x_i-1$$

y el $x_i$ son las raíces de $x^3-x^2-x-1=0$, $T_n$ como el tribonacci números y la raíz real $T = x_1 \approx 1.83929$ el tribonacci constante.

II. Poderes

Deje $a=\tfrac{1}{3}(19+3\sqrt{33})^{1/3},\; b=\tfrac{1}{3}(19-3\sqrt{33})^{1/3}$, entonces los poderes de la tribonacci constante $T$ puede ser expresada en términos de los tres secuencias como,

$$3T^n = R_{n}+(a+b)S_{n-1}+3(a^2+b^2)T_{n-1}$$

III. q-Continuó fracción

Deje $q = -1/(e^{\pi\sqrt{11}})$, entonces,

$$\frac{(e^{\pi\sqrt{11}})^{1/24}}{\frac{1}{T}+1} = 1 + \cfrac{q}{1-q + \cfrac{q^3-q^2}{1 + \cfrac{q^5-q^3}{1 + \cfrac{q^7-q^4}{1 + \ddots }}}}$$

IV. Desaire cubo

El concepto Cartesiano de coordenadas de los vértices de un desaire cubo son todas las permutaciones de $v=1/T$,

$\hskip2.8in$

V. Pi Fórmula

Deje $v = 1/T$, entonces,

$$\small\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6}\frac{2(4v+1)(2v+1)n+(4v^2+2v-1)}{(v+1)^{24n}} =\frac{4}{\pi}$$

VI. Infinito Anidada Radical

$$\frac{1}{T-1} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\dots}}}}$$

VII. Completar la integral elíptica de primera especie $K(k_{11})$

Alternativamente, su valor exacto es,

$$K(k_{11}) = \frac{1}{11^{1/4}(4\pi)^2} \bigl(\tfrac{T+1}{T}\bigr)^2\; \Gamma\bigl(\tfrac{1}{11}\bigr) \Gamma\bigl(\tfrac{3}{11}\bigr) \Gamma\bigl(\tfrac{4}{11}\bigr) \Gamma\bigl(\tfrac{5}{11}\bigr) \Gamma\bigl(\tfrac{9}{11}\bigr) = 1.570983\dots$$

VIII. Cúbicos Pell-Tipo De Ecuación

El diophantine cúbicos Pell-tipo de ecuación,

$$a^3 - 2 a^2 b + 2 b^3 - a^2 c - 2 a b c + 2 b^2 c + a c^2 + 2 b c^2 + c^3=1$$

tiene un número infinito de entero de soluciones,

$$a,\;b,\;c = T_{n-1},\;T_{n-2},\;T_{n-3}$$

Conclusión: sin duda el tribonacci números son bastante interesantes?

P. S. Ver también este post.