Cómo demostrar que el límite de las funciones medibles es medible

Question

Necesito ayuda para demostrar el siguiente teorema

Supongamos que $f$ es el límite puntual de una secuencia de $f_n$ , $n = 1, 2, \cdots$ , donde $f_n$ es una función medible de Borel en $X$ . Entonces $f$ es medible por Borel en $X$ .

Mi idea es utilizar la definición estándar como para cada $c$ , $\{x:f(x)<c\}$ es medible por Borel. Pero me he atascado en cómo hacerlo para la secuencia de $f_n$ .

Answer 1

Primero demostramos que $\limsup\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k$ y $\liminf\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k$ son medibles.

Por definición $$ \limsup\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k=\inf\limits_{n\geqslant1}\sup\limits_{\space k\geqslant n}f_k $$ $$ \liminf\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k=\sup\limits_{n\geqslant1}\inf\limits_{\space k\geqslant n}f_k $$

Desde \begin{align} \inf_{n\geqslant 1} \sup_{k\geqslant n} f_k(x) \leqslant c &\iff \forall \epsilon>0,\: \exists n\geqslant 1: \quad \sup_{k \geqslant n} f_k(x)< \inf \sup_{k\geqslant n} f_k(x)+\epsilon \leqslant c+\epsilon \\ &\iff \forall j\geqslant 1,\: \exists n\geqslant 1: \quad \sup_{k \geqslant n} f_k(x) \leqslant c+\frac1{j} \\ &\iff \forall j\geqslant 1,\: \exists n\geqslant 1, \:\forall k\geqslant n: \quad f_k(x) \leqslant c+\frac1{j} \\ &\iff x\in\bigcap\limits_{j\geqslant 1}\bigcup\limits_{n\geqslant 1}\bigcap\limits_{k\geqslant n}\left\{x:f_k(x) \leqslant c+\frac1{j}\right\} \end{align} Tenemos $$ \{x:\inf\limits_{n\geqslant1}\sup\limits_{\space k\geqslant n}f_k\leqslant c\}=\bigcap\limits_{j\geqslant 1}\bigcup\limits_{n\geqslant 1}\bigcap\limits_{k\geqslant n}\left\{x:f_k(x) \leqslant c+\frac1{j}\right\}\tag1 $$ Asimismo, \begin{align} \sup_{n\geqslant 1} \inf_{k\geqslant n} f_k(x) \leqslant c &\iff \forall n\geqslant 1: \quad \inf_{k \geqslant n} f_k(x)\leqslant c \\ &\iff \forall \epsilon>0,\:\forall n\geqslant 1, \:\exists k\geqslant n: \quad f_k(x)<\inf_{k \geqslant n} f_k(x)+\epsilon\leqslant c+\epsilon \\ &\iff \forall j\geqslant 1,\: \forall n\geqslant 1, \:\exists k\geqslant n: \quad f_k(x) \leqslant c+\frac1{j} \\ &\iff x\in\bigcap\limits_{j\geqslant 1}\bigcap\limits_{n\geqslant 1}\bigcup\limits_{k\geqslant n}\left\{x:f_k(x) \leqslant c+\frac1{j}\right\} \end{align} Así que $$\{x:\sup\limits_{n\geqslant1}\inf\limits_{\space k\geqslant n}f_k\leqslant c\}=\bigcap\limits_{j\geqslant 1}\bigcap\limits_{n\geqslant 1}\bigcup\limits_{k\geqslant n}\left\{x:f_k(x) \leqslant c+\frac1{j}\right\}\tag2 $$ Dado que ambos $(1),(2)$ son medibles $$ \limsup\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k \quad\text{ and }\quad\liminf\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k\quad\text{} $$ son medibles. Dado que $\lim\limits_{n\to\infty\space}f_n=f$ , $$f=\limsup\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k=\liminf\limits_{n\to\infty\space k\geqslant n}f_k $$ Así que $f$ es medible.

Answer 2

Como prueba más "directa", también se puede observar que $$\{x\in X\mid f(x)>a\}=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty \left\lbrace x\in X :f_n(x)>a+\frac{1}{m}\right\rbrace$$

Answer 3

Sugerencia

Cuando tengas problemas, hazlo a lo grande: demuestra que $$\limsup_n f_n=\inf_n\sup_{m\ge n}f_m$$ es medible por Borel.

Así que sólo tiene que demostrar que $\sup_n f_n$ (y $\inf_nf_n$ ) es (son) medible por Borel siempre que el $f_n$ -s son medibles por Borel.