Bueno hace unos días yo hizo una pregunta sobre los números perfectos y Tito Piezas III respondió a la pregunta de una manera muy intrigante que me ha ayudado a conseguir una pista sobre ella.Pero su respuesta y los números perfectos nos hicieron aterrizar en una pregunta muy interesante sobre los cubos.
La secuencia A023042 del sitio web de la OEIS muestra que un gran porcentaje de $N^3$ son una suma de tres cubos positivos. La OEIS sólo enumera N<1770, pero podemos ampliarlo:
$$\begin{array}{|c|c|} N&\text{%}\\ 2000&85.8\text{%}\\ 4000&89.8\text{%}\\ 6000&92.1\text{%}\\ 8000&93.3\text{%}\\ 10000&94.2\text{%}\\ \end{array}$$
Esto significa que el 94,2% de todos los N<10000 tienen una solución para $a^3+b^3+c^3=N^3$ en enteros positivos. Por lo tanto, si elegimos un N al azar en el extremo superior de ese rango, hay una muy buena probabilidad de que haya un a,b,c.
Ahora mi pregunta es la siguiente: ¿Existen infinitas $N^3$ (especialmente en el caso de los $N$ ) que no puede expresarse como una suma de tres cubos positivos?
Por ejemplo, no hay números enteros positivos,
$$a^3+b^3+c^3=999959^3$$
aunque el porcentaje de N<1000000 con soluciones debería ser cercano al 99%.
Por favor, ayúdenme en esta cuestión o proporciónenme alguna pista. El enlace de la página web de la OEIS es: oeis.org/A023042
