Serie Maclaurin para sinx

Question

Estoy aprendiendo sobre las series de taylor y traté de idear una (un Maclaurin) para $\sin x$ . Se me ocurrió lo siguiente: $$\sin x = \sum_{n=1}^\infty (n\bmod 2) (-1)^?\frac{x^n}{n!}$$ De esta manera, todos los pares $n$ los términos se convierten en $0$ y excluido. Sin embargo, no consigo averiguar qué potencia poner en el $(-1)$ término tal que el impar $n$ Los términos alternan entre ser positivos y negativos. He pensado en utilizar la secuencia de Fibonacci donde resulta que a partir de $F(1)$ cada tercer número es impar, y a partir de $F(2)$ uno de cada tres números es par. Esto funcionaría si el patrón existiera para cada cuarto número, en lugar de para el tercero. ¿Hay alguna forma de rellenar ese signo de interrogación? Gracias.

Answer 1

$?=\frac{n-1}{2}$ travaux.

Ahora, si denota $k=\frac{n-1}{2}$ su fórmula se convierte en una bonita expresión en $k$ que es la habitual.

Ahora, si quieres una expresión que sea entera también para los pares $n$ , podría utilizar $\frac{n(n-1)}{2}$ que es lo mismo que $1+2+..+n-1$ .