En cuanto a la construcción relativa de Proj

Question

El espacio proyectivo relativo $\underline{Proj}(\mathcal{F})$ correspondiente a una gavilla cuasi-coherente $\mathcal{F}$ de la clasificación $\mathcal{O}_X$ -se construye generalmente pegando $Proj(\mathcal{F}(U))$ donde $U$ recorre todos los abiertos afines de $X$ . Me parece que bastaría con considerar una cubierta afín de $X$ en lugar de tomar todas las aperturas afines. Se puede comprobar entonces que la construcción está bien definida mostrando que $\underline{Proj}(\mathcal{F})$ es el mismo (hasta el isomorfismo) si tomamos una cubierta afín de $X$ o cualquier refinamiento afín de esa cubierta. Pero todas las referencias que he visto hasta ahora, pegan la $Proj(\mathcal{F}(U))$ sobre todas las aperturas afines de $X$ para construir $\underline{Proj}(\mathcal{F})$ . Por lo tanto, tengo dudas de si estoy en lo cierto. Por favor, dígame si estoy cometiendo algún error.

Gracias de antemano.

Answer 1

Parece ser que sería más fácil tomar la versión de "todas las aperturas afines" como punto de partida - parece que sería más fácil tanto escribir definiciones, como escribir teoremas, y demostrar teoremas sobre esa versión.

Observe, en particular, los dos puntos:

• "Todos los abiertos afines" es una cubierta afín de $X$ La definición que quiere considerar es estrictamente más complicada.
• Dada una cubierta de $X$ En este caso, "todas las aperturas afines contenidas en un miembro de la cubierta dada" es uno de los refinamientos afines que hay que considerar, y en esta situación no parece menos complicado que "todas las aperturas afines".

Parece más sencillo y económico organizar el conjunto del trabajo de una forma como:

• Tome la construcción usando todas las aperturas afines como punto de partida
• Demostrar teoremas 1 como $\underline{\mathrm{Proj}}(\mathcal{F}|_U) \cong \underline{\mathrm{Proj}}(\mathcal{F}) \times_X U$ para cualquier $U$ y $\underline{\mathrm{Proj}}(\mathcal{F}|_U) \cong \mathrm{Proj}(F(U))$ para afines abiertos $U$
• Demostrar un teorema sobre el encolado de la construcción proj sobre los componentes de una cubierta.

Ten en cuenta que el último punto será aún más general que la definición que quieres considerar, porque será un teorema para todas las cubiertas, ¡no sólo para las cubiertas afines!

_{1: Asumo que estas afirmaciones son ciertas}

Answer 2

Su (idea de) construcción es perfectamente válida. Afinarlo un poco llevaría a argumentos que puedes encontrar aquí :

http://therisingsea.org/notes/TheRelativeProjConstruction.pdf

Cuando mencionas "ser lo mismo hasta el isomorfismo" en realidad hablas del proj relativo que representa algún functor. Más detalles aquí en plena generalidad :

https://stacks.math.columbia.edu/tag/01NS

y aquí para el caso especial :

https://stacks.math.columbia.edu/tag/01O4