Desigualdades en la teoría de la probabilidad

Question

Me quedé atascado mientras resolvía este problema. En primer lugar, he intentado demostrarlo directamente a partir de la definición, pero esto no lleva a ninguna parte. ¿Quizás la desigualdad de Jensen pueda ayudar? Pero no tenemos convexidad de f o de g. ¿Alguna idea de cómo podemos abordar este problema?

Answer 1

Dejemos que $X$ y $Y$ sea iid, entonces tenemos

$$E[(f(X)-f(Y))(g(X)-g(Y))] \ge 0$$

$$E[f(X)g(X)+f(Y)g(Y)-f(Y)g(X)-f(X)g(Y)] \ge 0$$

$$E[f(X)g(X)]+E[f(Y)g(Y)]-E[f(Y)g(X)]-E[f(X)g(Y)] \ge 0$$

Con independencia,

$$E[f(X)g(X)]+E[f(Y)g(Y)]-E[f(Y)]E[g(X)]-E[f(X)]E[g(Y)] \ge 0$$

Desde $X$ y $Y$ están idénticamente distribuidos

$$E[f(X)g(X)]+E[f(X)g(X)]-E[f(X)]E[g(X)]-E[f(X)]E[g(X)] \ge 0$$

$$2E[f(X)g(X)]-2E[f(X)]E[g(X)] \ge 0$$

$$E[f(X)g(X)] \ge E[f(X)]E[g(X)]$$

Answer 2

Para cada número real $x$ , $(f(X)-f(x))(g(X)-g(x)) \geq 0$ Por lo tanto $\mathbb{E}[f(X)g(X)] + f(x)g(x) \geq f(x)\mathbb{E}[g(X)] + g(x)\mathbb{E}[f(x)$ .

Entonces integra wrt $dP_X$ .