Integral de la $\sin x \cdot \cos x$

Question

He encontrado 3 soluciones diferentes de esta integral. ¿Dónde me equivoco? En caso de que no haya errores, podría explicar por qué los resultados son diferentes?

$ \int \sin x \cos x dx $

1) a través de subsitution $ u = \sin x $ $ u = \sin x; du = \cos x dx \Rightarrow \int udu = \frac12 u^2 \Rightarrow \int \sin x \cos x dx = \frac12 \sin^2 x $

2) a través de subsitution $ u = \cos x $ $ u = \cos x; du = -\sin x dx \Rightarrow -\int udu = -\frac12 u^2 \Rightarrow \int \sin x \cos x dx = -\frac12 \cos^2 x = -\frac12 (1 - \sin^2 x) = -\frac12 + \frac12 \sin^2 x $

3) el uso de $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $

$ \int \sin x \cos x dx = \frac12 \int \sin 2x = \frac12 (- \frac12 \cos 2x) = - \frac14 \cos 2x = - \frac14 (1 - 2 \sin^2 x) = - \frac14 + \frac12 \sin^2 x $

Así, tenemos: $$ \frac12 \sin^2 x \neq -\frac12 + \frac12 \sin^2 x \neq - \frac14 + \frac12 \sin^2 x $$

Answer 1

Antiderivatives sólo son únicos hasta la adición de una constante "de integración"). Si usted fuera a pegar límites en su integrales, sería siempre se obtiene el mismo número.

Answer 2

Nota: el cálculo indefinida integral y constantes puede ser cualquier cosa(que puede ser diferente). De hecho, la solución general a la que se acaba de $C+\dfrac{\sin^2 x}{2}$

Answer 3

$$\frac{d\{f(x)+c\}}{dx}=f'(x)$$ for any arbitrary constant $c$

$$\implies \int f'(x)dx=f(x)+d $$ for any arbitrary constant $d$

Así, en la integral indefinida podemos obtener respuestas que difieren por una constante