Encontrar el límite multivariable $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{xyz}{(x^2+y^2+z^2)^{a/2}}$

Question

Dejemos que $a>0$ . Encuentre $$\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{xyz}{(x^2+y^2+z^2)^{a/2}}$$

Después de jugar un poco con esto, parece que el límite es $0$ para $a<3$ y si no es así $\infty$ . Pero, ¿cómo puedo calcular realmente este límite? ¿Existe algún truco agradable para evaluar los límites de tres variables?

Gracias.

Answer 1

$|\frac{xyz}{(x^2+y^2+z^2)^{a/2}} |\leq \frac{r^3}{r^a} = r^{3-a}$ donde $r$ es su radio en coordenadas esféricas, es decir $M(x,y,z) = M(r,\theta,\phi)$ con $OM=r$ .

Si $a<3$ entonces el límite anterior converge a 0 como muestra la inecuación anterior.

Si $a\geq3$ entonces dependerá de la ruta que utilices, como se explica en las otras respuestas.

Así es como funciona siempre este tipo de ejercicio: utilizar $r$ para acotar la función y se vuelve a un límite simple. Entonces encuentra 2 secuencias que no convergen al mismo valor.

Answer 2

Claro. He comprobado mi respuesta en wolfram para verificarlo también.

Así que quieres convertir la expresión en

$\frac {{\rho^3} cos (\theta) sin(\theta) {sin (\phi)^2} cos(\phi)}{\rho^(2a/2)}$

¿Ves de dónde viene esto?

Esto se simplifica a ${\rho^{3-a}} cos (\theta) sin (\theta){sin (\phi)^2} cos (\phi)$

El límite se convierte en $(\rho,\phi,\theta) \mapsto (0, \pi,2\pi)$ . Obviamente, el $\rho=0$ hace que este límite sea cero independientemente de la línea/curva a la que nos acerquemos al centro, por lo que el límite debe ser cero.

SIN EMBARGO esto es para $a <3$ como has dicho. $a> 3$ obtenemos la división por cero, por lo tanto, el límite indefinido.

En $a=3$ también es indefinido. $a=3$ media $\rho$ es siempre 1. En el caso anterior dije que los dos ángulos eran $\pi$ ans $2\pi$ pero no tienen por qué serlo. Estos ángulos no hacen que la función se acerque al origen, así que pueden ser lo que quieran. Así, con $\rho$ siendo uno se obtiene toda la basura trigonométrica anterior que nunca puede acercarse al origen en coordenadas esféricas, y por tanto el límite no existe para $a=3$

También puedes hacerlo en cartesiano como se sugiere a continuación. Pero en cartesiano necesitas seleccionar más caminos y posiblemente usar el teorema del apretón.

Answer 3

Dejemos que $x=y=x$ por lo tanto tenemos $$\lim\limits_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xyz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{a}{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^3}{(3x^2)^\frac{a}{2}}=\frac{1}{\sqrt[a]{3}}\lim\limits_{x\to0}\frac{x^3}{x^{a}}\ \ \ (1)$$ y si consideramos $x=y$ y $z=0$ entonces $$\lim\limits_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xyz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{a}{2}}=0 \ \ \ \ (2)$$ por lo que de (1) y (2) vemos que si $a\geq3$ limitar las salidas de don't