Preguntas sobre la prueba de $f*g\in C^\infty(\mathbb R)$ cuando $f\in L^2(\mathbb R)$ y $g\in C_c^\infty(\mathbb R)$

Question

Estoy trabajando en la demostración de que la convolución de una función integrable cuadrada con una función continuamente diferenciable con soporte compacto es a su vez continuamente diferenciable:

"Dejemos $f\in L^2(\mathbb R)$ y $g\in C_c^\infty(\mathbb R)$ . Demostrar que $f*g\in C^\infty(\mathbb R)$ y que $(f*g)^{(k)}=f*g^{(k)}$ para $k\in\mathbb N$ ."

Para ello, me he servido de las siguientes preguntas y de las respuestas especialmente vinculadas:

Convolución de una función infinitamente diferenciable localmente integrable y compactamente soportada

Derivada de la convolución

Diferenciación bajo integral para la convolución

Estoy seguro de que entiendo la idea de la prueba, sin embargo, hay algunos puntos que son comunes a lo largo de cada uno de los intentos en los que no estoy del todo seguro y agradecería que se explicaran mejor.

1. ¿Cómo se aplica exactamente el teorema de convergencia dominante de Lebesgue? Al tomar el cociente de la diferencia (al trabajar con la derivada) obtenemos algo así como $$\lim_{h\to0}\int_\mathbb{R}f(z)\frac{g(x+h-z)-g(x-z)}h\text{d}z,$$ para la que queremos encontrar alguna función integrable $\psi$ de modo que para todos $z\in\mathbb R$ , $$\left|\frac{g(x+h-z)-g(x-z)}h\right|<\psi(z).$$ Es decir, queremos encontrar una función, $\psi$ que domina el cociente de diferencias anterior. Veo que se cumplen las hipótesis de la LDCT (ya que $g\in C_c^\infty$ es medible por Borel), pero ¿cómo rectificamos el hecho de que nuestra secuencia (el cociente de diferencias) no está indexada por los números naturales? ¿Cómo aplicamos la LDCT cuando tenemos $0<h<1$ que es incontable.

2. Para encontrar la dominante $\psi$ Como se ha mencionado anteriormente, hacemos uso del Teorema del Valor Medio (En lugar de simplemente suponer que dicha función dominante existe, debemos pasar a extraer la existencia específica de dicha función). En la primera de las preguntas enlazadas, esto se hace como sigue, \begin{eqnarray*} \left|g(x + h - z) - g(x - z)\right| & = & \left| \int_0^1\frac{\rm d}{{\rm d}s} g(x - z + sh)\; {\rm d} s \right| \\ &\leq & |h|\max_{x\in \mathbb R} |g'(x)|. \end{eqnarray*} ¿Cómo es que $g'(x-z+sh)$ para $s\in(0,1)$ está limitada por $g'(x)$ en función de $x$ ¿solo? Estoy pensando que uno define $g'_s(x):=g'(x - z + sh)$ para $s\in(0,1)$ y luego argumenta que para todos $s\in(0,1)$ , $|g'_s(x)|<|g'(x)|$ para todos $x\in\mathbb R$ para que la secuencia de funciones $(g_s)_{s\in(0,1)}$ está uniformemente acotado. Pero, ¿cómo se pasa de tratar con $g'(x-z+sh)$ a $g'(x)$ ? ¿Y cómo afecta esto a nuestras consideraciones sobre el apoyo que recibimos?

Answer 1

¡Buenas preguntas!

Para 1. Hay una versión del teorema de convergencia dominada que funciona para límites generales (no sólo para secuencias) pero también se puede derivar de la siguiente manera:

Elige cualquier secuencia $h_n\rightarrow 0$ . Mira el término $\psi(h):=\frac{g(x+h-z)-g(x-z)}{h}$ . La secuencia $\psi(h_n)$ satisface la condición del teorema de convergencia dominada y por tanto $\lim_{n\rightarrow\infty} \int \psi(h_n) d\mu$ convergencia. No es difícil ver que el límite para cada $h_n$ es la misma (siempre es la integral de la derivada de $g$ ). Por lo tanto, por el teorema de Heine, esto significa que $\lim_{h\rightarrow 0} \int \psi(h_n) d\mu$ existe y es igual al mismo límite.

Para 2. Sólo estás confundido porque usan el mismo elemento para denotar dos cosas diferentes. $g'$ es una función. Sea $M=\max_{y\in\mathbb{R}} |g'(y)|$ .

Entonces, si eliges $t=x-z+sh$ es claramente un número real y por lo tanto $|g'(t)|\leq M$ .

Answer 2

1. La DCT no sólo funciona con secuencias, también en casos como éste, en el que $h\to0$ . Puede convencerse considerando las secuencias $h_n\to0$ .

2. No está utilizando $|g'_s(x)|\le|g'(x)|$ pero $|g'_s(x)|\le\max_{x\in\Bbb R}|g'(x)|$ .