Verificación de la solución y dos pequeñas cuestiones de cardinalidad

Question

Estoy estudiando para mi examen final previsto para mañana, y me he encontrado con varios pequeños problemas.

Determina la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

1). $A$ es el conjunto de todas las funciones inyectivas de $\{1,2,3\}$ a $\mathbb R$ .

Mi solución: $1$ puede enviarse a todo en $\mathbb R$ . Supongamos que se envió a $\{a\}$ . Así que $2$ puede enviarse a $\mathbb R \setminus \{a\} \sim \mathbb R$ . Supongamos que se envió a $\{b\}$ . $3$ puede enviarse a $\mathbb R \setminus \{a, b\} \sim \mathbb R$ . Así que en general hay $|\mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R|=\aleph$ dichas funciones.

2). No estaba seguro de cómo resolver esto. $B$ es el conjunto de todas las funciones suryentes de $\mathbb R$ en $\{1,2,3\}$ .

3)> Intenté continuar, pero también me quedé atascado en esta: $C= \{f \in B: $ por cada $x,y \in \mathbb R| x \leq y \rightarrow f(x)\leq f(y) \}$

Gracias de antemano por cualquier sugerencia o ayuda de cualquier tipo.

Answer 1

La solución a (1) es correcta.

Aquí hay una pista para (2) Para cada subconjunto $A$ de $\Bbb R\setminus\{0\}$ encontrar una suryección de $\Bbb R\setminus\{0\}$ en $\{1,2\}$ y el mapa $0$ a $3$ .

Answer 2

Para $B$ Supongo que sería $3^{\mathbb{R}}$ ya que hay 3 opciones para cada $x\in\mathbb{R}$ y las funciones no subjetivas son una pequeña fracción de eso.

Para $C$ hay exactamente dos valores en los que $f(x)$ cambia de valor, por lo que $\mathbb{R}^2$ .

No sé qué significan los distintos números infinitos; supongo que se pueden convertir .