¿Existe una medida de Borel o cualquier medida válida en un espacio de Banach de dimensión infinita tal que un conjunto abierto acotado en este espacio tenga una medida positiva?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El resultado negativo mencionado en el comentario de Zen Harper, se refiere a las medidas invariantes, inexistentes en los espacios de Banach de dimensión infinita. Si no se requiere la invariancia, no hay problema. Véase, por ejemplo, el cálculo de la medida gaussiana de una bola en el artículo
http://titan.math.udel.edu/~wli/papers/94-shifted-Kuelbs-Li-Linde.pdf
Michael Greinecker
Puntos
4751
Es una consecuencia de El lema de Riesz que toda bola abierta en un espacio normado de dimensión infinita contiene una secuencia disjunta de bolas abiertas más pequeñas. Todas ellas tienen la misma medida bajo una medida invariante de traslación, por lo que si la bola circundante tiene medida finita, todas ellas tienen medida cero. Para los espacios separables, esto demuestra que todo conjunto abierto tiene medida 0 o $\infty$ bajo una medida invariante de traslación.
Si no te importa la invariabilidad de traslación, la medida de Wiener en el espacio de la función continua en [0,1] con valor inicial 0 debería satisfacer tu condición.
