Encuentra una base de transformación para la transformación lin. $\mathcal P_2\rightarrow \mathcal P_2; \space p\mapsto(q\cdot p)'$

Question

Dejemos que $q=x+1$ y que $\mathcal P_2$ sea el espacio vectorial de reales de grado dos o menos.

Determinar una matriz de transformación para la transformación lineal $\phi$ con respecto a la base $(1,x,x^2)$

$\phi: \mathcal P_2\rightarrow \mathcal P_2; \space p\mapsto(q\cdot p)'$

No estaba seguro de cómo enfocar esto, así que dejé que $p$ igual:

$$ax^2+bx+c$$

$$\implies (p \cdot q)'=[(ax^2+bx+c)(x+1)]'=(ax^3+ax^2+bx^2+bx+cx+c)'$$

$$=3ax^2+2ax+2bx+b+c=3ax^2+(2a+2b)x+(b+c)$$

Mi matriz de transformación se vería así:

$$\begin{pmatrix}b+c\\2(a+b)\\3a\end{pmatrix}\text{?}$$

Answer 1

No. La matriz debe ser $3\times 3$ . Si la base es $\{x^2,x,1\}$ sería $$\begin{pmatrix}3&0&0\\2&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}$$

Si aún no está claro, basta con multiplicar esta matriz por el vector $$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$ y ver qué pasa.

Answer 2

Hay que volver a la definición de la matriz de transformación $M=(m_{ij})$ escrito en la base $(e_1,\dots,e_n)$ , donde $$\displaystyle \phi(e_j)=\sum_{i=1}^n m_{ij} e_i$$

En su ejemplo, la base $(e_1,e_2,e_3)$ es igual a los tres polinomios $(1,x,x^2)$ . Así que vamos a tratar de encontrar $\phi(1)$ . Usted tiene $$\phi(1)=(q.1)^\prime=((x+1).1)^\prime=1=1.1+0.x+0.x^2$$ Por lo tanto, la primera colunmn de su matriz es $$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

A partir de ahí se puede seguir y encontrar el $3\times 3$ matriz solicitada que es $$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}$$

Comprobarás que para un polinomio de grado $2$ , $p(x)=a.1+b.x+c.x^2$ tienes $$\phi(p)=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=(a+b).1+(2b+2c).x+3c.x^2$$

También hay que tener en cuenta que la matriz a encontrar depende del orden de $1,x,x^2$ . La matriz de $\phi$ en la base $(1,x,x^2)$ no es lo mismo en la base $(x^2,x,1)$ ¡!