Criterios de Turing para el modelo de glucólisis de Sel'kvo

Question

Tengo el modelo de difusión de la reacción de Sel'kov para la glucólisis de la siguiente manera:

\begin{eqnarray} u_t=D_uu_{xx}-u+av+u^2v\\ v_t=D_vv_{xx}+b-av-u^2v \end{eqnarray}

¿Cómo puedo obtener los valores de $D_u$ y $D_v$ para la formación de un patrón mediante los criterios de Turing. Las últimas ecuaciones modelan la glicólisis en 1D. En dos dimensiones:

\begin{eqnarray} u_t=D_u(u_{xx}+u_{yy})-u+av+u^2v\\ v_t=D_v(v_{xx}+v_{yy})+b-av-u^2v \end{eqnarray}

Utilizando el mismo criterio de Turing, ¿cómo puedo obtener las formas analíticas exactas para $D_u$ y $D_v$ constantes difusivas. Estoy usando el criterio de Turing de la siguiente manera:

\begin{eqnarray} p(\sigma)=\mid J-\sigma I-\lambda D\mid=0\\ Re(p(\sigma))<0 \end{eqnarray}

donde $J$ es la matriz jacobiana evaluada en el PE $(b,\frac{b}{a+b^2})$ , $Re(p(\sigma))$ es la parte real de la ecuación y $\lambda$ es el valor propio de la linealización y vectorización para obtener una EDP lineal que es $\lambda=\frac{n^2\pi^2}{L^2}$ y $D$ es la matriz difusora de la siguiente manera $D=\begin{pmatrix} D_u & 0\\ 0 & D_v \end{pmatrix}$ .

He tratado de obtener la relación para $D_u$ y $D_v$ y no puedo hacerlo, no en el $1D$ caso o el $2D$ caso. Por favor, que alguien me ayude.

Answer 1

Su sistema es más conocido como el modelo Gray-Scott; se puede encontrar un buen resumen y descripción del análisis de inestabilidad de Turing aquí .

Para saber más sobre la relación entre la parte real de los valores propios del jacobiano y su traza y determinante, véase mi respuesta a esta pregunta .

Creo que, con estos dos ingredientes, podrá obtener los límites requeridos en $D_u$ y $D_v$ .