Cálculo de la base de Gröbner.

Question

No estoy muy familiarizado con el álgebra conmutativa, así que necesito ayuda con el cálculo de una base de Gröbner. Sea $ k $ sea un campo, y considere $ R = k[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}] $ . Necesito encontrar la base de Gröbner reducida para la intersección de los dos ideales $ I = \langle x_{1} x_{3},x_{1} x_{4},x_{2} x_{3},x_{2} x_{4} \rangle $ y $ J = \langle x_{1} - x_{3},x_{2} - x_{4} \rangle $ de $ R $ con respecto a la ordenación monomial lexicográfica $ x_{1} > x_{2} > x_{3} > x_{4} $ . Gracias.

Answer 1

Aquí está mi intento de calcular esto usando Macaulay2. Descargo de responsabilidad: Todavía soy bastante nuevo en esto, así que no puedo garantizar la corrección (aunque no he hecho nada mal a propósito ;-) ). En particular, parece que Macaulay2 no utiliza el ordenamiento Lex por defecto, de ahí el comando opcional en la definición de $R=k[a,b,c,d].$

Parece que obtenemos $(b^2d-bd^2, b^2c-bcd, ad-bc, abc-bc^2, a^2c-ac^2)$ como base reducida de Groebner para la intersección $I\cap J.$

i1 : R=QQ[a..d, OrdenMonomial => Lex]

o1 = R

o1 : AnilloPolinómico

i2 : I=ideal(a*c,a*d,b*c,b*d)

o2 = ideal (a*c, a*d, b*c, b*d)

o2 : Ideal de R

i3 : J=ideal(a-c,b-d)

o3 = ideal (a - c, b - d)

o3 : Ideal de R

i4 : K=intersección(I,J)

                    2       2   2                      2   2       2

o4 = ideal (a*d - b*c, b d - b*d , b c - b*c*d, a*b*c - b*c , a c - a*c )

o4 : Ideal de R

i5 : gens gb K

o5 = | b2d-bd2 b2c-bcd ad-bc abc-bc2 a2c-ac2 |

         1       5

o5 : Matriz R <--- R