Prueba de que $\mathbb{A}^n$ es irreducible, sin usar el Nullstellensatz

Question

Como sugiere el título, ¿podría alguien proporcionarme o dirigirme a una prueba de que el espacio afín n-dimensional $\mathbb{A}^n$ es irreducible, sin usar el Nullstellensatz?

Este es un ejercicio en un segundo curso de teoría de la representación, por lo que si hay una prueba razonablemente digerible desde el punto de vista de la teoría de la representación, probablemente eso es lo que se espera, pero por otro lado, puede que simplemente sea algo totalmente no relacionado pero presentado para el disfrute del lector. (No tengo la obligación de hacerlo, así que no lo consideraría como 'tarea'.)

He pasado algo de tiempo golpeándome la cabeza contra el ejercicio pero sin éxito, sigo regresando a la prueba del Nullstellensatz que ya conozco. Además de una prueba de teoría de la representación si existe alguna, cualquier alternativa, particularmente hermosas pruebas serían bien recibidas por sí mismas. ¡Muchas gracias por la ayuda!

Answer 1

El problema es demostrar que $\mathbb A^n$ no es la unión de dos subconjuntos algebraicos adecuados. Cualquier subconjunto algebraico adecuado está contenido en el lugar nulo $V(f)$ de $f$, para algún polinomio no nulo $f$. También la unión de $V(f)$ y $V(g)$ es igual a $V(fg)$. Ahora $fg$ es distinto de cero si lo son $f$ y $g, por lo tanto, en conclusión, el problema es demostrar (escribiendo simplemente $f$ en lugar de $fg$) que $V(f)$ es un subconjunto adecuado de $\mathbb A^n$ siempre que $f$ sea distinto de cero.

Concretamente, tienes que demostrar que si $f$ es un polinomio no nulo en $n$ variables, entonces $f(x) \neq 0$ para algún $x \in \mathbb A^n. Dejaré esto como un ejercicio. (Todo lo que requiere es que el cuerpo base sea infinito; dado que cualquier campo algebraicamente cerrado es infinito, eso es suficiente).

Añadido: Leyendo los comentarios, parece haber cierta incertidumbre sobre cuál es el contenido real de esta afirmación y por qué se invocaría el Nullstellensatz en absoluto.

El punto es que uno tiene que demostrar que si $f$ es un polinomio no nulo en $n$ variables, entonces hay un punto en $\mathbb A^n$ en el que $f$ no se anula. Esto ciertamente se sigue del Nullstellensatz (lo que implicaría que como $(f)$ es un ideal no nulo, hay un ideal maximal que no lo contiene, lo cual corresponde a un punto en el que $f$ no se anula). Como indico arriba, la afirmación es más elemental que el Nullstellensatz; por ejemplo, es cierto sobre cualquier campo infinito.

Pero se requiere algún argumento. Después de todo, si $k$ es un campo finito de orden $q$, entonces $(x_1^q - x_1)\cdots (x_n^q - x_n)$ se anula en todos los puntos de $k^n$, aunque es un polinomio no nulo.

Answer 2

La afirmación *$\mathbb A^n_k$ es irreducible* significa que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios, es decir, que en el anillo $k[x_1,\dotsc,x_n]$, dos ideales no nulos no pueden tener una intersección nula. Vamos a demostrarlo.

Sean $I$ y $J$ dos ideales no nulos del anillo de polinomios $k[x_1,\dotsc,x_n]$. Sean $f\in I$ y $g\in J$, ambos no nulos. Entonces $fg$ pertenece a $I\cap J$. Como el anillo ambiente es un dominio, el producto $fg$ no es cero. Por lo tanto, el ideal $I\cap J$ no es cero.