¿Cuándo utilizar la distribución t para calcular un intervalo de confianza?

Question

Tengo dos ejercicios:

1. La duración de la carga de una batería de una determinada marca de portátil sigue una distribución normal con un stdev de media hora. En una muestra aleatoria muestra aleatoria de 15 portátiles, la duración media de la batería fue de 5,8 horas. Construye un intervalo de confianza del 95% para la duración media de la batería.

2. El departamento de investigación de un fabricante de neumáticos está investigando la duración de un neumático con un nuevo componente de caucho. Se produjeron 16 neumáticos 16 neumáticos y se ha comprobado la duración de cada uno de ellos. La duración media y la desviación estándar fueron de 60139,7 y 3645,94 km, respectivamente. Admitiendo que la duración media del neumático sigue una distribución normal, determine un intervalo de confianza del 95% para la media.

Mi profesor los resolvió así:

("Tabela" se refiere a las tablas z)

Entiendo por qué resolvió el primero de esa manera, no entiendo por qué lo hizo en el segundo. Yo lo resolví como el primero y obtuve resultados similares. Del libro que estamos usando:

¿Cuándo utilizo uno y cuándo el otro? Tanto los ejercicios como las fórmulas me parecen idénticos.

Answer 1

La diferencia estriba en si la desviación estándar se estima a partir de la muestra, o si el valor verdadero es conocido y fijo independientemente de los datos. Cuando es conocido y fijo, utilizamos el valor crítico de una distribución normal estándar. Cuando no se conoce la verdadera desviación estándar y se estima a partir de los datos, se utiliza el valor crítico de una distribución normal de Student. $t$ distribución.

Como puedes ver en la primera pregunta, te dicen que la desviación típica es de media hora. Esto no se calcula a partir de la muestra, sino que se le da por adelantado. En la segunda pregunta, se le da una estimación de la desviación típica a partir de la muestra de 16 neumáticos. Aunque los datos se distribuyen normalmente en cada caso, la distribución muestral de la media de la muestra no es la misma: en el primer caso, es normal; pero en el segundo, es de Student. $t$ con $n-1 = 15$ grados de libertad.