Aplicación de la prueba de comparación de Cálculo I

Question

Antecedentes: Mis alumnos de Cálculo I han recibido la tarea de determinar el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de $f(x)=x^{0.2}$ centrado en $a=7$ . Escribiendo algunos términos, es fácil ver que tenemos $$7^{0.2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-0.8)\cdots(1.2-n)}{n!}7^{0.2-n}(x-7)^n=7^{0.2}-\sum_{n=1}^\infty \frac{\prod_{j=1}^{n-1}(5j-1)}{5^nn!}7^{0.2-n}(7-x)^{n}.$$ Ahora, es sencillo comprobar que tiene un radio de convergencia $R=7$ El problema que tengo es la comprobación de los puntos finales. Comprobando $x=14$ es, de nuevo, sencillo, pero $x=0$ me ha dado problemas.

Wolfram Alpha dice que la serie converge utilizando la prueba de comparación y Maple da el valor de $0$ para toda la expansión (lo que tiene sentido ya que $f(0)=0^{0.2}=0$ ).

¿Existe alguna comparación hábil que se pueda utilizar para demostrar la convergencia de esta serie?

Answer 1

Me sorprende que algo fuera sencillo :) Este es el tipo de situación en la que la prueba de la proporción falla y hay que usar la fórmula de Stirling para ver qué pasa. Para salvar mi cerebro, haré el ejemplo correspondiente con $f(x)=x^{1/2}$ y $a=1$ . Entonces acabamos teniendo que analizar la convergencia de la serie $$\sum \frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2^{k+1} (k+1)!} = \sum \frac{(2k)!}{2^{2k+1}(k+1)(k!)^2}\,.$$ Por la forma refinada de la fórmula de Stirling, $n!\sim \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}$ y puede comprobar que los términos se aproximan $1/(2\sqrt{\pi k})$ y así la serie diverge en $x=0$ . Esto es algo sutil, ciertamente. (No me extrañaría haber cometido un error en alguna parte de este documento; las correcciones son bienvenidas).

EDITAR : Vergonzosamente, cuando resolví esto, dejé caer el $k+1$ término en el denominador. Así que la estimación asintótica correcta es $$\frac1{2(k+1)\sqrt{\pi k}}\,,$$ y por comparación de límites con $\sum k^{-3/2}$ De hecho, la serie lo hace, convergen . Mis disculpas. Todo el trabajo duro era correcto; sólo el término fácil se dejó caer.

Answer 2

Me parece que su pregunta equivale a preguntar sobre la convergencia de la serie binomial -- es decir, la serie de Taylor para $f(x) = (1+x)^{\alpha}$ centrado en $0$ -- en el extremo izquierdo del intervalo de convergencia. El hecho de que haya divergencia, convergencia condicional o convergencia absoluta depende de $\alpha$ . El resultado completo para la convergencia de la serie binomial en los puntos finales del intervalo de convergencia se registra como Teorema 12.7 en estas notas . En particular, ya que aquí $\alpha = 0.2 > 0$ tenemos una convergencia absoluta en ambos puntos finales.

También estoy de acuerdo en que esto es demasiado avanzado para Cálculo I. Los apuntes que he enlazado son de un curso impartido en la Universidad de Georgia llamado Cálculo de Honor con Teoría que, al menos para mí, no es realmente una versión de "Cálculo I", sino que lo tiene como prerrequisito. Este curso y los apuntes están en cambio al nivel de los de Spivak Cálculo que, como él mismo ha señalado, es más bien un texto de análisis para estudiantes. Por otro lado, acabo de terminar de enseñar Cálculo II, en el que el tema más importante es el de las secuencias y las series. ¿Qué he dicho sobre la serie binomial? Casi nada. Había un problema en el examen final en el que se pedía el tercer polinomio de Taylor de $f(x) = \sqrt{x}$ centrado en $1$ más que eso pertenece a un curso más avanzado.

Añadido : Además, cuando $\alpha > 0$ la serie converge a lo que se supone, es decir, $f(-1) = (1-1)^{\alpha} = 0$ . Esto también se demuestra en las notas: véase el teorema 12.8. La evaluación de la serie en los puntos finales es tan poco directa que he sentido la necesidad de hacer referencia a la fuente, que son los apuntes de John Labute para un curso de análisis de pregrado en la Universidad McGill.

Estos resultados son, por supuesto, bien conocidos -creo que los conocía Newton- pero son relativamente difíciles de encontrar en los textos contemporáneos. El análisis de pregrado es un poco aguado hoy en día en comparación con lo que solía ser (y el análisis de postgrado tiende a comenzar con cosas mucho más elegantes, como la teoría de la medida abstracta): hay demasiados otros campos matemáticos que compiten por la atención de los estudiantes. Una pena...