Contables infinito producto directo de la $\mathbb{Z}$ modulo contable suma directa de

Question

Deje $M=\mathbb Z^{\mathbb N}$ ser el producto de una contables número de copias del grupo $\mathbb{Z}$ y deje $N=\mathbb Z^{(\mathbb N)}$ ser la suma directa de un contable número de copias de $\mathbb{Z}$. ¿Por qué es cierto que $M$ no es isomorfo a $N \oplus M/N$?

Los pensamientos que he tenido hasta ahora:

• Me enteré de que $M$ no es un libre o incluso proyectiva $\mathbb{Z}$-módulo (nota: proyectiva módulos de forma gratuita a través de la Sección, como un comentarista señaló), pero ese hecho no excluye la posibilidad de que la secuencia de $0 \to K \to M \to K \oplus M/K \to 0$ todavía se puede dividir parte del tiempo, para algunos $\mathbb{Z}$-submódulo $K \subseteq M$. Por lo que el resultado no se sigue directamente de $M$ no se proyectiva.
• No sé mucho acerca de la $M/N$ además de los que se compone de secuencias infinitas de números enteros, con secuencias que sólo difieren en un número finito de entradas de ser identificados. Si $M/N$ es libre o proyectiva, a continuación, el resultado se sigue del hecho de que $M$ no es proyectiva, pero no tengo la intuición como a la libertad o projectiveness de $M/N$.
• He intentado una prueba considerando $M$ como un anillo con la multiplicación se define el componente de sabios, y luego considerar la $M$,$N$,$M/N$ como $M$-módulos. Pero eso no se me de muy lejos.

Answer 1

Si $A$ es un grupo abelian, a continuación, $\cap_{n \geq 0} 2^n A$ es un subgrupo de $A$, cuyos elementos pueden ser llamados a $2^{\infty}$-divisible. Tenga en cuenta que $0$ es la única $2^{\infty}$-divisible elemento de $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, lo mismo es cierto para $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$. Pero el elemento representado por $(2^0,2^1,2^2,\dotsc)$ $2^{\infty}$- divisible en $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/\mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}}$. Por lo tanto, no hay monomorphism $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/\mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}} \to \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$.

Por otra parte, es bien conocido el resultado por Baer que $\mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}} \to \hom(\mathbb{Z}^{\mathbb{N}},\mathbb{Z})$, $e_n \mapsto \mathrm{pr_n}$ es un isomorfismo. En particular (y en realidad este es el paso principal en la prueba) un homomorphism $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}$ desaparece cuando lo hace desaparecer en la suma directa, es decir,$\hom(\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/\mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}},\mathbb{Z})=0$.

En aras de la exhaustividad, he aquí el argumento: Si $f : \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}$ es un homomorphism que se desvanece en la suma directa, y $x \in \mathbb{Z}^\mathbb{N}$, entonces para cada a $n \in \mathbb{N}$ elegimos $u_n,v_n \in \mathbb{Z}$$x_n = 2^n \cdot u_n + 3^n \cdot v_n$. A continuación, se observa que el $f(2^n u_n)_n \in \mathbb{Z}$ $2^{\infty}$- divisible, lo que se desvanece. Asimismo, $f(3^n v_n)_n$ se desvanece, por lo que el $f(x)=0$.