Dejemos que
- $H$ ser un $\mathbb R$ -Espacio Hilbert
- $(e_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una base ortonormal de $H$
- $f:H\to H$ sea diferenciable de Fréchet y $$f_n:=\langle f,e_n\rangle\;\;\;\text{for }n\in\mathbb N$$
- $\mathfrak L(A,B)$ denotan el espacio de los operadores lineales acotados entre los operadores normados $\mathbb R$ -espacios vectoriales $A$ y $B$ y $\mathfrak L(A):=\mathfrak L(A,A)$
Dejemos que $L_n:={\rm D}f_n(x)$ denotan la derivada de Fréchet de $f_n$ en $x\in H$ para algunos $n\in\mathbb N$ . Entonces, $L_n$ es un elemento de $\mathfrak L(H,\mathbb R)$ $\Rightarrow$ $\exists!v\in H$ con $$L_n=\langle\;\cdot\;,v\rangle\tag 1$$ por Teorema de la representación de Riesz . Por otro lado, $$L_nu=\langle\underbrace{{\rm D}f(x)}_{=:\;L}u,e_n\rangle\;\;\;\text{for all }u\in H\;.\tag 2$$ Así, por definición del adjunto $L^\ast$ , $$v=L^\ast e_n\;.\tag 3$$
Ahora, la forma concreta de $L^\ast$ no es evidente para mí. En particular, $L^\ast$ se define como $v$ pero $v$ es desconocida. Entonces, la pregunta es: ¿Existe alguna representación más concreta de $L^\ast$ ?
Obsérvese que podemos encontrar una representación concreta de $L^\ast$ cuando $H=\mathbb R^d$ para algunos $d\in\mathbb N$ : En ese caso obtenemos $$L(u)=\sum_{i=1}^du_i\frac{\partial f_n}{\partial x_i}(x)=u\cdot\nabla f_n(x)\;\;\;\text{for all }u\in H$$ y por lo tanto $$v=\nabla f_n(x)\;,$$ si $n\in\left\{1,\ldots,d\right\}$ .
