Esperaba que alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:
Dejemos que $\pi: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea la la proyección sobre la primera coordenada, y sea $p=\pi|_X$ , donde $X=(\mathbb{R}_{\geq0} \times \mathbb{R}) \cup ( \mathbb{R} \times \{0\})$ (así $X$ debe ser la unión del eje x todo al derecha e incluyendo el eje y... ¿no?). Demostrar que $p$ es un mapa cociente, pero $p$ no es un mapa abierto ni un mapa cerrado.
Utilizando una propiedad de la topología del subespacio (a saber, que podemos restringir el codominio de una función continua y seguir conservando la continuidad) $p$ debe ser continua. La subjetividad también es evidente. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar que $p$ es un mapa cociente, y que no es ni abierto ni cerrado. Me parece que el examen de las vecindades del origen podría dar una pista hacia una solución, pero he probado un puñado de ejemplos de tales vecindades y no he llegado a ninguna parte. Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!
