Básicamente, no entiendo muy bien qué aspecto tiene M y cómo este libro de texto "verifica fácilmente los valores propios y las funciones propias de M" 
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por definición, $M$ es el mapa $$ u \mapsto -u'' $$ definido en $W$ . Para comprobar los vectores propios y los valores propios, observe que $$ M\left(\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right) = -\left(\cos\left(\frac{n\pi x}{L} \right)\right)'' = \left(\frac{n \pi}{L}\right)^2 \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$ Asimismo, puede comprobar que $$ M\left(\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right) = \left(\frac{n \pi}{L}\right)^2 \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$ En cada caso, hemos comprobado que la función es un vector propio con valor propio $\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$ .
Que estas funciones cubran todos los vectores propios de $M$ es un poco menos trivial.
