Determine si la siguiente integral impropia converge o no

Question

Pregunta integral:

Tengo la siguiente pregunta:

Dada la siguiente integral impropia: $$I=\int _{1}^{\infty }\left( x^{k} \cdot \ln\left( x^{k} -1\right) -kx^{k}\ln( x)\right) dx$$ determinar si la integral converge o diverge.

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Mi intento:

$Solution.$ Simplificaremos la integral por " $\ln$ " identidades.

Por lo tanto, \begin{gather*} \int _{1}^{\infty } x^{k} \cdot \ln\left( x^{k} -1\right) -kx^{k}\ln( x)dx = \int _{1}^{\infty } x^{k}\left(\ln\left( x^{k} -1\right) -k\ln x\right)dx\\ \\ \underbrace{=}_{ \begin{array}{l} by:\ y\ln x\ =\ \ln x^{y} \end{array}} \int _{1}^{\infty } x^{k}\a la izquierda(\ln\a la izquierda( x^{k} -1\a la derecha) -\ln\a la izquierda( x^{k}\a la derecha)\a la derecha)\a la derecha)dx\a la izquierda \\ \N - Bajo el brazo{=}{{} \begin{array}{l} by: \ \ln( x) \ -\ \ln( y) \ =\ \ln\left(\frac{x}{y}\right) \end{array}} \int _{1}^{infty } x^{k}\\a la izquierda(\ln\a la izquierda(\frac{x^{k} -1}{x^{k}\a la derecha)\a la derecha) dx \\\\= \int _{1}^{{infty }x^{k}\a la izquierda( 1-\frac{1}{x^{k}\a la derecha)dx \fin*}

Ahora examinamos si la integral equivalente converge. Para ello, aplicaremos el siguiente teorema:

Teorema: si $f(x) \xrightarrow[x\rightarrow \infty ]{} L\neq 0$ Entonces: $\int_{a}^{\infty}f(x)$ diverge.

Por lo tanto, examinamos dos casos para $k$ :

1. Cuando $k>0$ que tenemos: $$ \begin{array}{l} \lim _{x\rightarrow \infty } x^{k}\ln\left( 1-\frac{1}{x^{k}}\right) =\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\ln\left( 1-\frac{1}{x^{k}}\right)}{\frac{1}{x^{k}}}\underbrace{=}_{ \begin{array}{l} L'Hôpital\\ \ \ \ \ \ \ \frac{"0"}{0} \end{array}}\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{-1}{1-\frac{1}{x^{k}}} \cdotp \left(\frac{1}{x^{k}}\right)^{'}}{\left(\frac{1}{x^{k}}\right)^{'}}\\ =\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-1}{1-\frac{1}{x^{k}}} =\frac{-1}{1-0} =-1\neq 0 \end{array}$$ por lo que la integral diverge.

2. Cuando $k<0$ mediante la sustitución de $k=-n$ cuando $n>0$ : $$\lim _{x\rightarrow \infty } x^{-n}\ln\left( 1-\frac{1}{x^{-n}}\right) =\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^{n}}\ln\left( 1-x^{n}\right) =\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\ln\left( 1-x^{n}\right)}{x^{n}}$$ sin embargo esto contradice el dominio de " $\ln$ ", que no pudo obtener valores negativos inpputed, lo que implica que $k$ es un número no negativo.

Así, en total, tenemos que la integral impropia diverge.

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Pensamientos: No estoy seguro del segundo caso, en el que $k$ es negativo porque puede haber otra forma de mostrar el límite de la función cuando $x$ se acerca al infinito. Por lo tanto, estaré encantado de recibir comentarios sobre la forma en que he mostrado. Gracias.

Answer 1

Su solución me parece completa. No creo que haya problemas de rigor. De hecho, ya podemos ver que debemos tener $k > 0$ para la función definida originalmente, ya que si $k \le 0$ y $x > 1$ entonces $x^k \le 1$ por lo tanto, $\log (x^k - 1)$ no es de valor real. No es necesario considerar los comportamientos límite para excluir el caso no positivo para $k$ .

También cabe destacar que el comportamiento límite para $k > 0$ debe ser independiente de $k$ ya que la transformación $u = x^k$ implica que como $x \to \infty$ , $u \to \infty$ por lo que sólo debemos considerar el comportamiento de $$u \log (1 - 1/u)$$ como $u \to \infty$ . Esto, por supuesto, es $-1$ .