Tasa de convergencia de una solución de una ecuación con un parámetro libre

Question

Supongamos que $\epsilon>0$ es una solución a la siguiente ecuación: $$\epsilon^2-a(m)\ln\epsilon-b(m)=0,$$ donde $a(m)\to 0^+$ y $b(m)\to 0$ como $m\to\infty$ .

Supongamos que una solución $\epsilon=\epsilon(m)$ existe para cada $m$ suficientemente grande. Me interesa su comportamiento como $m\to\infty$ . ¿Podemos afirmar una tasa de convergencia de $\epsilon(m)$ en términos de $a(m)$ y $b(m)$ ?

Por la definición que derivé que $\epsilon(m)$ debe tender a cero, y en particular que $a(m)\ln\epsilon(m)\to 0$ Así que $\epsilon(m)$ debe ir a cero más lentamente que $\exp\{-1/a(m)\}$ . Sin embargo, no puedo encontrar fácilmente un límite superior.

Answer 1

Si $a$ es estrictamente positivo, la sustitución $\epsilon = x\sqrt{a}$ transforma la ecuación en $$x^2 - \ln{x} = \frac{\ln{a}}{2} + \frac{b}{a}$$

La velocidad de convergencia depende del comportamiento de la RHS.

Por ejemplo, si $b = a^{\alpha}$ se va al infinito aproximadamente como $a^{\alpha - 1}$ y $x \approx a^{\frac{\alpha - 1}{2}}$ es decir $\epsilon = a^{\frac{1}{2}} x \approx a^{\frac{\alpha}{2}}$